Prueba Libro

Notas de Algebra Lineal

E

Santa Marta, Marzo de 2015

Dedicatoria
A

Agradecimientos
A Dios

Introducci´on
En general

´Indice general
1 MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1.1 MATRIZ Y CLASES DE MATRICES . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 MATRIZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 MATRIZ NULA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3MATRIZ CUADRADA . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 MATRIZ BINARIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 DIAGONAL PRINCIPAL DE UNA MATRIZ . . . . . .
1.1.6 MATRIZ IDENTIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.7 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR . . . . . . . . . .
1.1.8 MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR . . . . . . . . . .
1.1.9 TRAZA DE UNA MATRIZ . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.10 IGUALDAD DEMATRICES . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.11 MATRIZ DIAGONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.12 MATRIZ ESCALAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.13 TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ . . . . . . . . . . .
1.1.14 MATRIZ SIMETRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.15 MATRIZ ANTISIMETRICA . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 OPERACIONES CON MATRICES . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1SUMA Y RESTA DE MATRICES . . . . . . . . . . . .
´ POR ESCALAR . . . . . . . . . .
1.2.2 MULTIPLICACION
1.2.3 PRODUCTO PUNTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´ DE MATRICES . . . . . . . . . .
1.2.4 MULTIPLICACION
1.2.5 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON MATRICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES . . . . . . . . . . .
1.3.1 OPERACIONESELEMENTALES DE FILA . . . . . .
1.3.2 METODO DE GAUSS O GAUSSIANA . . . . . . . . .

iii

2
2
2
3
3
4
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6
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9
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15
19
21

1

Ellery Chacuto Lopez

1.4
1.5

1.3.3 METODO DE GAUSS JORDAN . . . . . . . . . . . . .
INVERSA DE UNA MATRIZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 INVERSA DE UNA MATRIZ DE 2 × 2 . . . . . . . . .
DETERMINANTE . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
1.5.1 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE DOS POR
DOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Regla de Sarrus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Menor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Cofactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.5 Determinante por el m´etodo de expansi´on de cofactores
1.5.6Adjunta de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.7 Inversa de una matriz empleando la adjunta . . . . . . .

25
27
27
28
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29
30
30
30
30
30

2 VECTORES EN R2 Y R3
37
2.1 ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS . . . . . . . . . . . . 38
2.1.1 Rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.2 Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 ESPACIOSVECTORIALES
3.1 ESPACIO VECTORIAL . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 SUBESPACIO . . . . . . . . . . . . . .
´ LINEAL . . . . . . .
3.1.2 COMBINACION
3.1.3 DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA
3.1.4 GENERADO DE UN CONJUNTO . .
3.1.5 CONJUNTO GENERADOR . . . . . .
3.1.6 BASE . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.7 DIMENSION . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .
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LINEAL .
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.. . . . .
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39
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43

´ LINEAL
4 APLICACION

45

5 VALORES Y VECTORES PROPIOS

47

´INDICE GENERAL

Cap´ıtulo 1
MATRICES, DETERMINANTES Y
SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES
1.1
1.1.1

MATRIZ Y CLASES DE MATRICES
MATRIZ

Una matriz de m × n es un arreglo rectangular de m.n numeros reales o
complejos ordenadosen m filas horizontales y n columnas verticales.


a11 a12 · · · a1n
 a21 a22 · · · a2n 


 ·

·
·
·
·
·

A=
 ·
·
· · ·
· 


(1.1)
 ·
·
· · ·
· 
am1 am2 · · · amn
= [aij ]
en donde aij representa el numero que se encuentra en la i-esima fila y la
j-esima columna, donde i = 1, 2, · · · m y j = 1, 2, · · · n

1.1.1 Ejemplo.
2

3

Ellery Chacuto Lopez



2
1 −2 5
1
2 5

B = −3...