Prueba mate4

Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıa
Departamento de Matem´tica a

Certamen 3 Matem´tica IV a
1) Considere el siguiente problema de Cauchy   y 2 (x − y) ∂u − x2 (x − y) ∂u = (x2 + y 2)u  ∂x ∂y   u(x, px) = qx + r, x>0 a) Determinar p, q, r en R de tal modo que el problema (1) i) tenga soluciones. ii) no tenga soluci´n. o b) ¿Existen p, q, r en R de tal modo que el problema (1)tenga soluci´n unica? o ´

(1)

Respuesta
b) Sea C curva dato con ecuaciones param´tricas e   x(s) = s y(s) = ps  z(s) = qs + r,

s>0

Estudiamos ahora la tangencialidad entre las curvascaracter´ ısticas y la curva dato. Para a(x, y, z) = y 2 (x − y), consideramos ∆= a(x(s), y(s), z(s)) b(x(s), y(s), z(s)) x (s) y (s) = (ps)2 (s − ps) −s2 (s − ps) 1 p = s3 (1 − p)(1 + p3 ) b(x, y, z) =−x2 (x − y), c(x, y, z) = (x2 + y 2 )z

Bajo la condici´n ∆ = 0 y sabiendo s > 0, existe unica soluci´n si p = 1, p = −1. o ´ o a) i) Consideremos p = 1 o p = −1, de este modo el problema (1) notiene unica soluci´n. ´ o Vector tangente a la curva dato (1, p, q). Para que existan infinitas soluciones, la curva dato debe ser una curva caracter´ ısitica, por lo tanto se debe cumplir ((ps)2 (s −ps), −s2 (s − ps), (s2 (1 + p2 ))(qs + r)) = λ(1, p, q) para alg´n λ. Consideremos p = −1, entonces desde (2) se tiene u (2s3 , −2s3 , 2s2 (qs + r)) = λ(1, −1, q) Por lo tanto, para p = −1, r = 0, q ∈ Rel problema (1) tiene infinitas soluciones. ii) Si p = −1, r = 0, q ∈ R el problema (1) no tiene soluci´n. o Si p = 1, r, q en R el problema (1) no tiene soluci´n. o (2)

MAT024 (Segundo semestre2010)

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Departamento de Matem´tica a

Otra forma de resolverlo. Consideramos el sistema caracter´ ısitico   dx = y 2 (x − y)   dt   dy = −x2(x − y)  dt   dz   = (x2 + y 2 )z dt Desde dx dy − = (x2 + y 2 )(x − y), desde la tercera ecuaci´n del sistema caracter´ o ısitico se tiene dt dt x − y = c1 z Utilizando las dos primeras...