prueba

Pontificia Universidad Cat´lica de Valpara´
o
ıso
Instituto de Matem´ticas
a

Gu´ 3 - Mat 166
ıa
Septiembre de 2012
Profesor: Antonio Morales A.

1. Encuentre, en cada caso, el cociente yel resto al dividir p(x) por q(x), donde
a) p(x) = 13x3 + 3x + 10x5 − 16 − 18x2 − 4x4 + 2x3 , y q(x) = 3 + 2x.
b) p(x) = −6x5 + 2x3 − 5x2 + 6, y q(x) = 3x2 − x + 1.
c) p(x) = x7 − 8x5 + 5x3 − 2x2 +x − 1, y q(x) = x3 − 1.
2. Determine c y k en R de modo que al dividir el polinomio 3x2 + 2x2 + cx − k por x + 2 y x − 1 se obtenga
como resto 37 y −2 respectivamente.
3. Sea p(x) = 2x3 + bx2 + cx+ d ∈ R[x]. Determine los valores de las constantes b, c y d, si
1. El resto al dividir p(x) por x, el resto es 2 + b.
2. El resto al dividir p(x) por x + 1 es b + d.
3. 1 es ra´ de p(x).
ız
4.Sea p(x) = x4 + x3 − 3x2 − 5x − 2. Verifique que −1 es una ra´ de p(x) y determine la multiplicidad de
ız
dicha ra´
ız.
5. Sea p(x) = 2x4 + ax3 + 28x2 + bx + 6. Determine a y b en R de modo que 1 yfactorice p(x) como producto de factores irreducibles en R[x].
6. Sea p(x) ∈ R[x] un polinomio tal que
a) Al dividir p(x) por x − 3 el resto es 2.
b) 2 y 4 son ra´ de p(x).
ıces

1
sean ra´ dep(x), y
ıces
2

2

Encuentre el resto al dividir p(x) por (x − 2)(x − 3)(x − 4).
7. Sea p(x) ∈ R[x] tal que el resto al dividir p(x) por x + 2 el resto es 3, y el resto al dividir p(x) por x− 2
es 6. ¿Cu´l es el resto al dividir p(x) por x2 − 4?.
a
8. Sea p(x) = x6 − x5 − 5x4 + 5x3 − 36x2 + 36x ∈ R[x].
a) Determine todas las ra´ racionales de p(x).
ıces
b) Determine todas las ra´ dep(x).
ıces
9. Descomponer al m´ximo el polinomio x8 − 1 en R[x].
a
10. Sea p(x) = x6 − 1. Factorice p(x) como producto de factores irreducibles en Q[x], R[x] y C[x].
11. Descomponer lassiguientes fracciones como suma de fracciones parciales:

a)

8x2 + 36x + 47
(3x − 1)(x + 2)(2x + 3)

b)

5x2 − 42x + 35
(6x + 5)(x − 3)2

c)

x3 + 2x + 5
(x2 + 2)2

d)

3x2 + 2x − 2
(x...