Prueba

a
22 Noviembre - 2012
1) Determine el punto sobre la par´bola x = −y 2 m´s cercano al punto
a
a
(0, −3).
Para resolver el ejercicio se puede tomar la ecuaci´n distancia entre dos
o
puntos queviene de la forma:
√

d=

(x1 − x0 )2 + (y1 − y0 )2
√

d=

x2 + (y + 3)2
1

De suerte que aprovechando la ecuaci´n dada de la par´bola la distancia
o
a
queda:
√
d = (−y 2 )2 + (y +3)2
√

d=

y 4 + y 2 + 6y + 9

Ahora se puede aplicar derivaci´n, dejando la ecuaci´n de la siguiente forma:
o
o
4y 3 + 2 y + 6
dd
= √4
dy
2 y + y 2 + 6y + 9
Aplicando la optimizaci´nse puede decir que, para que:
o
dd
= 0 → 4y 3 + 2 y + 6 = 0
dy
Finalizando se encuentra −1, gracias a la divisi´n sint´tica como ra´ del
o
e
ız
polinomio diciendo entonces que:
2y 3 + y + 3 =(y + 1)(2y 2 − 2y + 3)
1

Continuando:
(y + 1) = 0 → y = −1
(2y 2 + 2y + 3) = 0; tiene soluciones complejas al aplicar ecuaci´n cuadr´tica
o
a
as´ que la soluci´n del problema ser´ con y =−1 y reemplazando en x = −y 2
ı
o
ıa
se obtiene el punto (−1, −1).

2) Un alambre de 100cm de longitud, se corta en dos partes formando
con una de ellas un c´
ırculo y con la otra un cuadrado.C´mo debe ser coro
tado el alambre para que la suma de las ´reas de las dos figuras sea m´xima?.
a
a
Revisando los per´
ımetros de las figuras se obtiene una funcion de la
forma:
1
4L = x → L = x4
100 − x
2πr = 100 − x → r =
2π
Y Obviamente una funci´n objetivo que vendr´ de la forma:
o
ıa
A(x) = L2 + πr2
12
1
x+
(1000 − 200x + x2 )
16
4π
Finalmente, se puede decir que como lafunci´n es una par´bola positiva el
o
a
punto de inflexi´n es un m´
o
ınimo diciendo as´ que el problema no es posible.
ı
A(x) =

3) Escribir la ecuaci´n de la recta tangente a la curva x3 y +xy 3 = 30 en
o
el punto (1,3)
Para encontrar la pendiente de la recta tangente se necesita la derivada,
pero como la funci´n es de dos variables, se puede utilizar derivaci´n impl´
o
o...