Prueba

Sea A una matriz cuadrada no singular, es decir, que su determinante sea diferente de cero, . Por definición de matriz inversa, se tiene que

es la inversa de A si:

(13)
Haciendo ysustituyendo en la ecuación anterior, se obtiene
A X = I (14)
Puede considerarse que esta ecuación matricial representa un sistema de ecuaciones simultáneas, en donde no hay un solo vector de términosindependientes sino n, los n vectores básicos que forman la matriz unitaria I. Además, no existe un solo vector de incógnitas, sino n, los que corresponden a cada columna de la matriz unitaria.
Porlo anterior, es posible determinar la inversa de una matriz con el método de Gauss-Jordan de eliminación completa. Para lograrlo, bastará con aplicar las operaciones elementales sobre los renglonesde la matriz ampliada (A, I) de manera de transformar A en I. Cuando se haya hecho, se obtendrá la matriz ampliada , con lo que se tendrá la inversa buscada.
EJEMPLO
Invertir la matrizAuméntese la matriz de coeficientes con una matriz identidad

Usando a11 como pivote, el renglón 1 se normaliza y se usa para eliminar a X1 de los otros renglones.

En seguida, se usa a22 como pivotey X2 se elimina de los otros renglones.

Finalmente, se usa a33 como pivote y X3 se elimina de los renglones restantes:

Por lo tanto, la inversa es:

Se puede resolver un sistema deecuaciones con la inversa de la matriz de coeficientes, de la siguiente manera:

donde C es el vector de términos independientes.
Comparando ambos métodos, es evidente que el método de inversión dematrices no es práctico para la solución de un sólo conjunto (o dos o tres conjuntos) de ecuaciones simultáneas, porque la cantidad de cálculos que intervienen para determinar la matriz inversa es muygrande. Sin embargo, si se desea resolver 20 conjuntos de 10 ecuaciones simultáneas que difieren únicamente en sus términos independientes, una matriz aumentada que contiene 20 columnas de...