Prueba

Apuntes sobre funciones como transformaciones o mapeos Suponga la función �� = ��(��) bien definida en los puntos de la región R del plano complejo �� = ��(��)

Plano Z, (preimágenes) y Región R zx

Plano W, (imágenes) v Región R’ w u

Cada z en R, la función f le asocia un único w en la región R’ (en el plano W), todas la imágenes de z en R están en R’. En términos geométricos se dice que�� = ��(��) transforma la región R en la región R’. En algunos textos se dice que f mapea R en R’. En general si z está sobre el contorno de R, su imagen no necesariamente estará sobre el contorno deR’. Si R es una curva C en el plano Z, bajo la función f, la curva C puede transformarse una curva C’ en el plano W. Plano Z, (preimágenes) y �� = ��(��) Plano W, (imágenes) v

x

u

Se diceque f transforma la elipse en la recta, o que f mapea la elipse en la recta o la imagen de la elipse es la recta. Transformaciones elementales Lineal: f(z) = Az + B, con A y B constantes complejas , zvariable. Sus partes real e imaginaria son, �� = ���� + �� �� = ���� + ������ �� + ���� + ���� + ������ �� = ������ − ������ + ���� + ��(������ + ������ + ���� ) �� ��, �� = ������ − ������ + ���� , ����, �� = ������ + ������ + ����

Las transformaciones lineales se pueden describir en términos de, alargamientos, acortamientos, rotaciones y/o traslaciones de curvas, por ejemplo para f(z) = z +2, el 2 corre o traslada horizontalmente cada z, dos unidades a la derecha, si z = 1+i (en plano z), w = 1+i + 2 = 3+i (en plano w), así para determinar la imagen de C bajo f(z) = z + 1, corra toda lacurva 2 unidades horizontalmente a la derecha. Explore la actividad puesta en el sitio del departamento, visualice traslaciones, alargamiento, reducción y rotaciones.

Note que segmentos setransforma en segmentos, acortados o alargados y/o rotados. Para cada punto G sobre el cuadrilátero puede visualizar su imagen W en cuadrilátero imagen. Note además que los ángulos se conservan del plano Z...