Prueba1 2014 2sem PAUTA

Universidad de La Frontera
Facultad de Ingenier´ıa y Ciencias

Tco, 11 Octubre 2014

Departamento de Matem´atica y Estad´ıstica.

Prueba 1 (IME277)
Nombre:

Carrera:

Profesor:
Problemas:
1. (2.5 puntos) Dada la siguiente ecuaci´on:
f (x) = ex−2 + x2 − 4 = 0,
a) Demuestre que posee una u
´nica soluci´on x¯ en el intervalo [0, 2].
b) Empleando la regla de Fourier, determine por cu´al extremo delintervalo [0, 2] se debe
comenzar en el m´etodo de Newton para obtener convergencia a la ra´ız x¯ de f (x).
c) A partir del punto hallado en b), realice 3 iteraciones del m´etodo de Newton (use 4
decimales) y estime el error cometido con la f´ormula:
|xn − x¯| ≤

M
|xn − xn−1 |2 , donde M ≥ m´ax |f (x)| , 0 < m ≤ m´ın |f (x)| .
x∈[0,2]
x∈[0,2]
2m

d ) ¿Cu´antas iteraciones del m´etodo de Bisecci´onhay que hacer para obtener un error
menor que 10−4 ?. Realice 4 iteraciones de Bisecci´on y compare su resultado con lo
obtenido en c).
2. (2.5 puntos) Sea el siguiente polinomio, dependiente de par´ametros α, β ∈ R:
p(x) = x4 + αx3 + βx + 2.
a) Determine para qu´e valores de α y β, el polinomio p(x) tiene una ra´ız de multiplicidad
2 en x¯ = 1.
b) Compruebe que si α y β son negativos, elpolinomio p(x) no puede tener ra´ıces
negativas y tiene al menos 2 ra´ıces complejas. Justifique.
c) Para α = −1, β = −4, halle la sucesi´on de polinomios de Sturm de p(x) y determine
dos intervalos disjuntos que contengan sus dos ra´ıces positivas.
d ) Para α = −1, β = −4, halle una funci´on g(x) tal que el m´etodo de punto fijo
xn+1 = g(xn ) sea convergente a la menor ra´ız positiva de p(x).

1

3. (3puntos) Para el sistema Ax = b, con

1 0

0 2
A=
−1 1

matriz y vector definidos por:

 
1
1


1
0 
, b=
α
β

a) Determine para qu´e valores de α y β el sistema tiene soluci´on y para cu´ales no.
b) Ahora se calcula la “matriz normal” de A, definida por:
N = At A.
Compruebe que N es una matriz definida positiva para todo α = − 12 .
˜L
˜ t de la matriz N
c) Para α = β = 1, halle ladescomposici´on LU y la de Choleski L
d ) Use la descomposici´on de Choleski para hallar la soluci´on x¯ del sistema:
˜L
˜ t x = At b.
N x = At b ⇐⇒ L
Compruebe, adem´as, que x¯ es tambi´en soluci´on del sistema original Ax = b.
4. (2 puntos) Considere la siguiente sucesi´on de n´
umeros:
1.4418, 9.1775, 72.4325, 86.8199, 118.1126.
Suponga que usted dispone de una calculadora con una aritm´etica de base10 con representaci´on flotante normalizada, de 4 cifras para la mantisa y 2 para el exponente.
a) Escriba los n´
umeros anteriores en la aritm´etica se˜
nalada con redondeo.
b) Realice la suma de estos n´
umeros con esta calculadora de dos formas:
De mayor a menor
De menor a mayor
c) Determine cu´al de las dos formas produce un resultado con menor error absoluto.

2

´
RESOLUCION

1)a) Notemosque f (x) = ex−2 + x2 − 4 es continua y derivable (suma de continuas y
derivables) y que:
f (0) = e−2 − 4 ≈ −3,8647 < 0, f (2) = 1 > 0
Entonces, por el teorema de Bolzano, existe al menos una ra´ız de f (x) en [0, 2].
Para la unicidad, tenemos f (x) = ex−2 + 2x, que es siempre positiva en [0, 2] y por tanto la
ra´ız es u
´nica.
1)b) Calculando f (x) = ex−2 + 2, que es tambi´en positiva, tendremos:f (0)f (2) < 0,
f (x) > 0, ∀x ∈ [0, 2],
f (x) > 0, ∀x ∈ [0, 2],
y como f (2) > 0, el criterio de Fourier nos dice que Newton debe comenzar por x0 = 2.
1)c) Las 4 primeras iteraciones de Newton son:
i
0
xi
2
f (xi ) 1

1
2
1.8
1.786709
0.05873 0.2487×10−3

3
1.786652
0.4522×10−8

Para estimar el error, notemos que tanto f (x) como f (x) son funciones crecientes, entonces:
m´ın |f (x)| = m = f (0) =e−2 ,

m´ax |f (x)| = M = f (2) = 3,
x∈[0,2]

x∈[0,2]

por lo cual, el error cometido es:
|x3 − x¯| ≤

3
|1,786652 − 1,786709|2 ≈ 0,3601 × 10−7
−2
2e

1)d) En el caso de Bisecci´on tenemos que:
|xn − x¯| ≤

1
4
|2 − 0| < 10−4 =⇒ 2 × 104 < 2n =⇒ n > 1 +
=⇒ n > 15.
n
2
log10 (2)

Realizando 4 iteraciones tendremos:
i
a
b
xm

0
1
2
3
4
0
1
1.75
1.75
1.75
2
2
2
1.875 1.8125
1 1.75 1.875 1.8125...