Prueba1_Mate2_junio2012

Grado en Ing. Diseño Industrial y Desarrollo del Producto
Doble Grado en Ing. Diseño Ind. y Des. Producto e Ing. Mecánica
Grado en Ing. Química Industrial
MATEMÁTICAS II. Curso 2011-12. EXAMEN FINALJUNIO (Primera Prueba)

Tiempo: 2 horas, 30 minutos. Se recuerda que todas las respuestas deben estar debidamente razonadas.

EJERCICIO 1.
1. [4 puntos] Considérese el sólido que se forma cuando laregión acotada por las curvas y = x2 + 1;
y = 1; x = 2 gira alrededor de la recta x = 2:Se pide:
a) Expresar el volumen del sólido mediante una integral usando el método de discos.
b) Expresar elvolumen del sólido mediante una integral usando el método de capas.
Nota: No hay que calcular las integrales
2. [6 puntos] Siendo f (x; y) = 5x2 + 10y + 2xy; se pide:
a) Obtener los puntos críticos ydecidir si son o no extremos relativos de f:
b) Obtener los valores extremos de f en la región R = (x; y) 2 R2 :
en los que se alcanzan dichos valores.

x

y

2

x2 y los puntos

EJERCICIO 2.
1. [3 puntos]Calcular la integral

Z

2

0

3senx cos x
dx
1 + sen2 x

2. [3.5 puntos] Estimar, aplicando el método de Newton, el punto de corte de las grá…cas y = e x e
y = x 1 con abscisa en el intervalo [1; 2].Tomar como punto inicial x1 = 1 y realizar una iteración.
¿Se puede asegurar la convergencia del método tomando x1 = 1?
p
3. [3.5 puntos] Dada la función f (x) = ln 1 + 3x2 + x cos x + 2 ; calcularel polinomio de MacLaurin
de grado 2 de f (x) y utilizarlo para aproximar el valor de f (1=4):
EJERCICIO 3.
1. [4 puntos] Sea z = f (x; y) de…nida implícitamente por la ecuación x2
siendo f (2; 0) = 1:Se pide:

8z 2 cos y

z + 4y + 5 = 0;

a) Calcular la máxima derivada direccional de f en el punto (2; 0).
b) Obtener el plano tangente a la super…cie z = f (x; y) en el punto (2; 0; 1)
x+3
(x + 2)(x2 + 1)
R2
a) Obtener el valor exacto de 1 f (x) dx
R2
b) Obtener un valor aproximado de 1 f (x) dx usando el método de los trapecios con n = 3:
R +1
3. [2 puntos] Estudiar la convergencia de la...