Prueba2 1314 segundo parcial mat2 2014

Prueba de Matem´
aticas II
29 de abril de 2014

NOMBRE

1. Hacer uno de los apartados (a) o (b), y otro de los apartados (c) o (d).
a) Integrar la ecuaci´on diferencial y = xy + (y )3 .
b) Encontrarlas trayectorias ortogonales a la familia uniparam´etrica x2 y = K, de
par´ametro K.
c) Encontrar la familia de curvas que tiene la propiedad de que la pendiente de
sus tangentes es igual a la suma delas coordenadas del punto de tangencia.
Encontrar la curva particular que pasa por el origen de coordenadas.
d ) Encontrar la familia de curvas que tiene la propiedad de que la pendiente de sustangentes es igual al doble de su coordenada y. Encontrar la curva particular
que pasa por el punto (0, 1).
2. Una nueva substancia C se produce a partir de dos sustancias A y B, combinando
una mol´eculade A con dos mol´eculas de B (para dar una mol´ecula de C). Admitimos
que el ritmo de creaci´on de mol´eculas de C es directamente proporcional al producto
del n´
umero de mol´eculas de A y B.Inicialmente tenemos un cierto n´
umero de
mol´eculas de A, que denotaremos por xA (0) y el doble de mol´eculas de B, xB (0) =
2xA (0). (a) Escribir la ecuaci´on diferencial que verifica el n´
umero demol´eculas de
C, xC (t). (b) Supuesta conocida la constante de proporcionalidad que aparece en la
ecuaci´on diferencial (llam´emosle k), hallar xC en funci´on del tiempo. (c) ¿Cu´al es
el valor m´aximo de xC? ¿Qu´e “reactivo”, A o B, se agota antes? (d) ¿Dependen las
respuestas de (c) del valor de k? ¿C´omo podr´ıa medirse k experimentalmente?
3. Una bala de masa m se introduce en una tabla de espesor dcon una velocidad
inicial v0 , la traspasa y sale de ella con una velocidad vf . Supongamos que la fuerza
de rozamiento ejercida sobre la bala por la tabla es proporcional al cuadrado de lavelocidad, |F | = kv 2 . (a) Encontrar la constante de proporcionalidad k de esta ley
en funci´on de los datos del problema, m, d, v0 y vf . (b) Calcular el tiempo que tarda
la bala en atravesar la tabla....