Prueba2 1s 2014

Universidad de La Frontera
Facultad de Ingenier´ıa y Ciencias

Tco, 08 Agosto 2014

Departamento de Matem´atica y Estad´ıstica.

Prueba 2 (IME277)
Nombre:

Carrera:

Profesor:
Problemas:
1. (3 pts)Considere el sistema de ecuaciones lineales:

 2x1 − x3 = 1
βx1 + 2x2 − x3 = 2

−x1 + x2 + αx3 = 1
a) Halle las matrices TJ y TGS de los m´etodos iterativos de Jacobi y Gauss-Seidel.
b) ¿Paracu´ales valores de α, β se puede asegurar la convergencia?
c) Realice 3 iteraciones del m´etodo de Jacobi con xt0 = (1, 2, 3) para α = 3, β = −2.
d ) Si la soluci´on real es x¯t =

1 3
, ,0
2 2

, calcule elerror relativo cometido.

2. (3 pts) Se tiene la siguiente tabla de valores de una funci´on f (x) en los puntos dados:
xi
f (xi )

−1
0
1
2
−0,172 1 0,908 −0,814

Se desea calcular un valoraproximado de f (1,5). Para ello se ha propuesto:
a) Calcule el polinomio p1 (x) de grado 3, que interpola los valores de f (x) en los 4
puntos xi = {−1, 0, 1, 2}. Despu´es calcular p1 (1,5).
b) Calcular unpolinomio p2 (x) de grado 2 que aproxime los valores de f (x) en los 4
puntos dados por el m´etodo de m´ınimos cuadrados. Despu´es calcular p2 (1,5).
c) Usar el m´etodo de derivaci´on num´erica decoeficientes indeterminados en los 3 puntos
{0, 1, 2}.
d ) Realice los c´alculos descritos y determine cu´al m´etodo comete el menor error absoluto,
sabiendo que el valor verdadero de la derivada es f(1,5) = −1,7417.

1

2

3. (2 pts) Sea la integral
1

ex
dx.
x

a) Aproxime el valor de la integral con la regla del Trapecio compuesto con n = 10.
Estime el error cometido.
b) Si el valor real es I = 3.059 1, ¿Qu´e tan buena fue la estimaci´on del error en a)?.
c) Calcule n de manera que, usando la regla del Trapecio compuesta, el error estimado
de la aproximaci´on sea menor que 0,5 × 10−4 .
4. (2pts) La ecuaci´on diferencial que describe el movimiento angular de un p´endulo simple
es:
2
g
dθ
d2 θ
+ sen(θ) = 0,
+
k
2
dt
dt
L
donde se supone que la fuerza de amortiguamiento es proporcional...