Pruebas de bondad estadistica

ESTADÍSTICA INFERENCIAL
PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE
Docentes Centro de Ciencias Básicas

PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE O PRUEBA CHI - CUADRADO
Hasta ahora se han mencionado formas de probar lo que se puede llamar hipótesis
paramétricas con relación a una variable aleatoria, o sea que se ha supuesto que se
conoce la ley de probabilidad y se vieron pruebas de hipótesis que declaran valores paralos parámetros. En algunos casos se necesita probar si una variable o unos datos siguen
determinada distribución de probabilidad, un método para hacer esta prueba es el de
bondad de ajuste o chi-cuadrado.
La información debe estar presentada en un cuadro de distribución de frecuencias. Sea m
el número de clases y nj el número de observaciones en cada clase (frecuencias
observadas). Se tratade comparar los valores o frecuencias observadas (nj) con las
frecuencias que habría en cada grupo o clase o sea el valor esperado (ej) si se cumple la
hipótesis nula (H0).
Las diferencias entre lo observado y lo esperado dan las discrepancias entre la teoría y la
realidad. Si no hay diferencias, la realidad coincidirá perfectamente con la teoría y por el
contrario, si las diferencias songrandes indica que la realidad y la teoría no se parecen.
Los pasos a seguir son:
Hipótesis
H0: La variable tiene distribución X con tales parámetros
H1: La variable no tiene la distribución X
Estadística de Trabajo
∑

(

)

∑

nj: frecuencia observada en la muestra
ej: frecuencia esperada según la distribución teórica
n: tamaño de la muestra.
Nota:
El número de observacionesesperadas en cada clase debe ser mayor o igual a 5, es
decir, ej 5. Si esto no ocurre se unen las clases adyacentes hasta cumplir el requisito. Al
unir las clases se disminuirán los grados de libertad de la chi-cuadrado.

Donde:
m: Número de clases
K: Número de estimadores obtenidos a partir de la muestra.
α: Nivel de significancia.

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La regla de decisión se observa en la siguiente figura:

EJEMPLO 1
Se desea probar si la estatura de los empleados tiene distribución normal. Se toma una
muestra aleatoria de 200 empleados a quienes se les pregunta su estatura en pulgadas.
Los resultados obtenidos son:
ESTATURA

57,5 - 63,5

63,5 - 69,5

69,5 - 72,5

72,5 - 78,5

No. EMPLEADOS

2975

68

28

Con base en ésta información, ¿se puede concluir que su distribución es normal?
Solución
H0: La estatura de los empleados tiene distribución normal.
H1: La estatura de los empleados no tiene distribución normal.
Para hallar la estadística de trabajo se utiliza la expresión planteada anteriormente. Para
calcular la frecuencia esperada es necesario obtener la probabilidaden cada intervalo y
para ésto se requiere el promedio aritmético y la desviación estándar, que se obtienen con
la información suministrada por la muestra, los que respectivamente son: 68,42 y 4,4451.
(

)

ESTATURA

nj

pj

ej =n pj

57,5 - 63,5

29

0,.1335

26,7

63,5 - 69,5

75

0,4613

92,26

69,5 - 72,5

68

0,2264

45,28

72,5 - 78,5

28

0,178835,76

TOTAL

n = 200

1

200

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La estadística de trabajo es:

∑

(

)

Con una confiabilidad del 95 por ciento, en una tabla de la distribución chi-cuadrado y un
grado de libertad (número de clases: m=4, número de estimadores obtenidos a partir de la
muestra: k=2, promedio y desviaciónestándar. Entonces m-k-1 = 1) se obtiene un valor
para
de 3,8415. El valor de la estadística de trabajo está en la zona de rechazo de
la hipótesis nula (Figura 1), por lo tanto con una confiabilidad del 95 por ciento, se acepta
que la estatura de los empleados no tiene distribución normal.

Figura 1 Regla de decisión para una prueba de bondad de ajuste

Ejemplo 2
Se distribuyó el número...