Pruebas De Wilcoxon

PRUEBA DE WILCOXON DE RANGO CON SIGNO
Considere que estamos dispuestos a suponer que la población de interés es continua y simétrica, por lo tanto se enfoca en la (o equivalente la media μ, puesto que = μ en las distribuciones simétricas). Una desventaja de la prueba de signo en esta situación es que considera sólo los signos de las desviaciones Xi - 0 y no sus magnitudes. La prueba deWilcoxon del rango con signo se diseño para eliminar esta desventaja.
A continuación se desarrollan 3 tipos de descripción de la prueba, en 3 tipos de casos::
I. Descripción de la prueba (forma general)
Debido a que se supone que la distribución fundamental es simétrica, = μ, de modo que la hipótesis de interés se expresarán en términos de μ más que de.
Suposición
X1, X2,…, Xn es una muestraaleatoria de una distribución de probabilidad continua y simétrica con media (y mediana) μ

Cuando el valor teorizado de μ es μ0, las diferencias absolutas deben ordenarse de menor a mayor.
Hipótesis nula: H0: μ = μ0
Valor estadístico de prueba: s+ = suma de los rangos asociados con las (xi - μ0) positivas
Hipótesis alternativa: Región de rechazo para prueba de nivel

H1: μ>μ0 s+ ≥ c1
H1: μ <μ0 s+ ≤ c2 [donde c2 = n(n + 1) / 2 - c1
H1: μ ≠ μ0 s+ ≥ cos + ≤ n(n + 1) / 2 - c
donde los valores críticos de c1 y c obtenidos de la tabla (1) del anexo, satisfacen P(S+ ≥ c1 ) ≈ α y P(S+ ≥ c ) ≈ α / 2 cuando H0 es verdadera.




II. Descripción de la prueba (Muestras pareadas)
Se está interesado en probar contra las alternativas usuales.Suponga que X1, X2,…, Xn es una muestra aleatoria de una distribución continua y simétrica con media (y mediana) μ.
* Se calculan las diferencias Xi - μ0, i = 1,2,…, n.
* Se calculan las diferencias absolutas | Xi - μ0 |, i = 1,2,…, n en orden ascendente y luego se asignan a los rangos los signos de sus diferencias correspondientes.
Sea R+ la suma de los rangos positivos y R- el valorabsoluto de la suma de los rangos negativos, y sean
R = mín (R+, R-)
La tabla (2) del anexo contiene los valores críticos de R, por ejemplo R*α. Si la hipótesis alternativa es H1: μ ≠ μ0, entonces si R ≤ R*α se rechaza la hipótesis nula H0: μ = μ0.
En las pruebas de un lado:
* Si la alternativa es H1: μ >μ0, se rechaza H0: μ = μ0 si R- < R*α ; y
* Si la alternativa es H1: μ<μ0, se rechaza H0: μ = μ0 si R+ < R*α ;
El nivel de significación para las ´pruebas de un lado es la mitad del nivel anunciado en la tabla (2) del anexo.
III. Descripción de la prueba (aproximación a una muestra grande)
Si el tamaño de la muestra es moderadamente grande, n>20, puede demostrarse que R tiene aproximadamente una distribución normal con media:

Y varianza

Enconsecuencia, una prueba de H0: μ = μ0 puede basarse en la estadística:

EJERCICIOS

1. Forma general

a) Un fabricante de planchas eléctricas, deseando probar la precisión de control del termostato en la posición de ajuste a 500F, da instrucciones a una ingeniería de pruebas para obtener temperaturas reales en esa posición de ajuste para 15 planchas que usan termopar. Las medicionesresultantes son como sigue:
494.6 | 510.8 | 487.5 | 493.2 | 502.6 | 485.0 | 495.9 | 498.2 |
501.6 | 497.3 | 492 | 504.3 | 499.2 | 493.5 | 505.8 | |

La ingeniería piensa que es razonable suponer una desviación de temperatura de cualquier magnitud, desde los 500F, es probable que sea tanto positiva como negativa (la suposición de simetría) pero desea protegerse contra una posible situación fuerade la normalidad de la distribución real de temperatura, de modo que se decide usar la prueba de Wilcoxon de rango con signo para ver si la información da una fuerte sugerencia de calibración incorrecta de la plancha.
Las hipótesis Ho: µ=500 en función de Ha: µ≠500, donde µ=promedio verdadero de temperatura real en la posición de ajuste de 500F.
Desarrollo
Restando 500 de cada una de...