Ps2

1

1.

CÁLCULO DE PRIMITIVAS
1. Calcular las siguientes integrales indefinidas:
1
1
−
2x − 1 2x + 1

1.

dx

Es inmediata.
1
1
−
2x − 1 2x + 1
2.

dx =

1
(ln |2x − 1| − ln |2x + 1|) + C
2

x2 + 2x + 2
dx
x+1
Descomponemos el integrando en fracciones parciales y obtenemos
x2 + 2x + 2
dx =
x+2

x+

2
x2
dx = 2 ln |x + 2| +
+C
x+2
2

x arc tg x dx

3.

Integramos por partes (u = arc tg x, dv = xdx)queda

x arc tg x dx =

=

1
x2
arc tg x −
2
2

√

x2
dx =
2(1 + x2 )

x2 + 1 − 1
x2
1
dx
=
arc tg x − (x − arc tg x) + C =
2
1+x
2
2

=(
4.

x2
arc tg x −
2

1
x2 1
+ ) arc tg x − x + C
2
2
2

dx
4 − 9x2
√

dx
=
4 − 9x2

1/2
1 − 94 x2
=

dx =

1
2

1
3
arc sen( x) + C
3
2

1
1−

2
3
2x

dx =

2

1 CÁLCULO DE PRIMITIVAS

5.

1
dx
+4

9x2

1/4
1
dx =
4
+1

1
dx =
9x2 + 4

9 2
4x

=
6.

earc senx
√
dx = earc sen x + C.
1 − x2

e2x
dx
1 + e4x
e2x
1
dx = arc tg(e2x ) + C.
4x
1+e
2

Es inmediata,
8.

1
3
arc tg( x) + C
6
2

earc sen x
√
dx
1 − x2
Es inmediata,

7.

1
dx =
(3x/2)2 + 1

ln(a2 + x2 ) dx
Integrando por partes (u = ln(a2 + x2 ), dv = dx) se tiene
ln(a2 + x2 ) dx = x ln(a2 + x2 ) − 2

= x ln(a2 +x2 )−2

x2 + a2 − a2
dx = x ln(a2 +x2 )−2x+2
a2 + x2

= x ln(a2 + x2 ) − 2x + 2a arctg
9.

x2
dx
a2 + x2

x
+C
a

sen(ln x) dx
Integrando por partes (u = sen(ln x), dv = dx), tenemos
sen(ln x) dx = x sen(ln x) −

cos(ln x) dx

Integrando de nuevo por partes (u = cos(ln x), dv = dx),
cos(ln x) dx = x cos(ln x) +
Así tenemos

sen(ln x) dx

a2
dx =
a2 + x2

3

sen(ln x) dx = x sen(ln x) − x cos(ln x) +

sen(ln x) dx =

De modo que
10.

sen(ln x) dx

1
(x sen(ln x) − x cos(ln x)) +C
2

ex − 1
dx
ex + 1
ex − 1
dx =
ex + 1

ex
dx −
ex + 1

ex

1
dx =
+1

e−x
dx = ln(ex + 1) + ln(e−x + 1) + C
1 + e−x

= ln(ex + 1) −

La penúltima igualdad se obtiene de multiplicar por e−x el numerador
y el denominador del integrando de ex1+1 dx. Si no se ve este truco,
se hace el cambio t = ex y se resuelve aplicando fracciones parciales.
11.

3x − 2
dx
3x2 − 4x + 3
3x − 2
1
dx = ln |3x2 − 4x +3| + C
− 4x + 3
2

Es inmediata,
12.

3x2

xex
dx
(1 + x)2
Integrando por partes (u = xex , dv =
xex
−xex
dx
=
+
(1 + x)2
1+x

13.

ex dx =

dx
),
(1+x)2

se tiene

−xex
+ ex + C = ex
1+x

1
+C
1+x

e2x sen x dx
Integrando por partes (u = sen x, dv = e2x dx) se tiene
1
1
e2x sen x dx = e2x sen x −
2
2
Denotamos I1 =

e2x sen x dx y I2 =

e2x cos x dx

e2x cos x dx.

Integrando I2 por partes denuevo (u = cos x, dv = e2x dx), queda
1
1
I2 = e2x cos x +
2
2

1
1
e2x sen x dx = e2x cos x + I1
2
2

4

1 CÁLCULO DE PRIMITIVAS
De modo que
1 2x
1
e cos x + I1
2
2

1
1
I1 = e2x sen x −
2
2
Despejando I1 de la ecuación, queda

2
1
I1 = e2x sen x − e2x cos x + C
5
5
14.

tg

x
dx
2

Es inmediata,
15.

tg

x
dx =
2

sen x2
x
+C
x dx = −2 ln cos
cos 2
2

x3 sen x dx
Integrando por partes (u = x3 ,dv = sen xdx) se tiene
I1 =

x3 sen x dx = −x3 cos x + 3

x2 cos x dx

Integrando de nuevo por partes (u = x2 , dv = cos xdx), queda
I2 =

x2 cos x dx = x2 sen x − 2

x sen x dx

Integrando otra vez por partes (u = x, dv = sen xdx),

I3 =

x sen x dx = −x cos x +

cos x dx = −x cos x + sen x + C

De modo que
I1 = −x3 cos x + 3I2 = −x3 cos x + 3 x2 sen x − 2I3 =
= −x3 cos x + 3 x2 sen x − 2 (−x cosx + sen x + C) =
= −x3 cos x + 3x2 sen x + 6x cos x − 6 sen x + D
16.

tg2 x dx
Es inmediata. Basta escribir

tg2 x dx =

sec2 x−1 dx = tg x−x+C

5

17.

tg5 x sec2 xdx

18.

1 6
tg x + C.
6

tg5 x sec2 xdx =

Es inmediata.
ln x dx

Se resuelve por partes (u = ln x, dv = dx)
ln x dx = x ln x −
19.

20.

sen x + cos x
dx
sen x − cos x
sen x + cos x
Es inmediata.
dx = ln | sen x − cos x| + C
sen x− cos x
1
dx
1 + cos 3x
Como cos 3x = cos 2

3
2x

1
dx =
1 + cos 3x

cos2

=

21.

1 dx = x ln x − x + C

1
2

= cos2

3
2x

1
cos2

3
2x

3
2x

− sen2

sen2

3
2x

dx =

1
tg
3

+

3
2x

1
+ cos2

, escribimos

3
2x

− sen2

3
2x

dx

3
x +C
2

x3 e−2x dx
Se resuelve integrando por partes (u = x3 , dv = e−2x dx)
I1 =
Denotamos I2 =

3
1
x3 e−2x dx = − e−2x x3 +
2
2

x2 e−2x dx

x2 e−2x dx....