Psicologia

1. Condiciones iniciales
Independiente del grado de la ecuación diferencial, a fin de obtener las soluciones de las ecuaciones diferenciales se puede presentar condiciones que limitan la solución. En forma particular, obtener la solución de una ecuación de primer grado, que será nuestro punto de partida, bajo una condición inicial se traduce a la obtención de la solución de una ecuaciónSujeta a la condición , conocido este último como condición inicial. En general, cuando se presenta la ecuación diferencial y las condiciones iniciales el problema se conoce como problema de valor inicial.
Ejemplo:
Dada una solución un paramétrica

Esta constituye una familia de soluciones de alguna ecuación diferencial, sin embargo la condición inicial es nos conduce a la solución .

2.Condiciones De Linealidad
Se dice que una ecuación diferencial de la forma y(n) = f(x, y, y',..., y(n-1)) es lineal cuando f es una función lineal de y, y',..., y(n-1). Esto significa que una ecuación es lineal si se puede escribir en la forma
An(x) dny + a n-1(x) d n-1y +... + a1(x) dy +a0(x) y = g(x)
Dxn dx n-1 dx
En esta ultima ecuación, vemos las dos propiedades características de lasecuaciones diferenciales lineales:
• La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, la potencia de todo término donde aparece y es 1.
• Cada coeficiente solo depende de x, que es la variable independiente

3. Conjunto fundamental de soluciones
Todos conjunto y1, y2,...., yn de n soluciones L.I. de la DELH de orden n , en un intervalo I, se llama conjuntofundamental de soluciones en el intervalo I.
Teorema:
IV.2.7 Existencia de un conjunto fundamental
Existe un conjunto fundamental de soluciones de la DELH de orden n, en el intervalo I.
IV.2.8 Solución general de una ecuación homogénea
Sea y1, y2,...., yn un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden n en un intervalo I.
La solución general de laecuación en el intervalo es y=C1y1(x)+.....+ Cnyn(x) (7)
Donde Ci, i= 1, 2,3,..., n son constantes arbitrarias.
Ejemplo:
1.- Las funciones y1=e3x, y2=e-3x son soluciones de la ecuación lineal homogénea.



4. Dependencia e independencia lineal
En álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de losrestantes. Por ejemplo, en R3, el conjunto de vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) es linealmente independiente, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo es, ya que el tercero es la suma de los dos primeros.
Sea un conjunto de vectores. Decimos que son linealmente dependientes si existen números , no todos iguales a cero, tal que:

Nótese que el símbolo a la derecha del signo igualno es cero, sino que simboliza al vector nulo . El conjunto de vectores nulos forma la matriz nula. Si tales números no existen, entonces los vectores son linealmente independientes.
Utilizando conceptos de espacios vectoriales podemos redefinir la independencia lineal así:
Un conjunto de vectores de un espacio vectorial es linealmente independiente si

5. Ecuación Auxiliar
Comenzaremoscon el caso especial de la ecuación de segundo orden
Ay + by + cy = 0 (2)
Si probamos con una solución de la forma y =emx, entonces y =memx y y =m2emx , de modo que la ecuación (2) se transforma en
am2emx + bmemx + cemx = 0 o sea emx(am2 + bm + c) = 0
Como emx nunca es cero cuando x tiene valor real, la única forma en que la función exponencial satisface la ecuación diferencial es eligiendouna m tal que sea una raíz de la ecuación cuadrática
am2 + bm + c = 0
Esta ecuación se llama ecuación auxiliar o ecuación característica.

6. Función Complementaria
La combinación lineal yc(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + ... + Cn yn(x), que es la solución general de (6), se llama función complementaria para la ecuación (7). En otras palabras, para resolver una ecuación diferencial no homogénea...