PSIND

EJERCICIOS resueltos

(Matriz: conmutable, idempotente, nilpotente, involutiva, elemental, equivalente)

MATRIZ CONMUTABLE
Las matrices A y B sonconmutables si A.B=B.A Hallar todas las matrices A conmutables con B si:

A= y, B=
Desarrollo:

A.B= Λ B.A=

Como A.B=B.A si son conmutables, entonces:
=a = a+c c = c V a+b = b+d c+d = d
c = 0 a = d c = 0

A es conmutable con B si a, b, d Є R Λ a = d Λ c = 0



MATRIZIDEMPOTENTE
Una matriz se dice idempotente si y solo si A = A2
Pruebe que la siguiente matriz:

B = es idempotente.
Desarrollo:

B2 = * = = B

MATRIZNILPOTENTE
Dada la siguiente matriz A, demostrar que es nilpotente de orden 2

A =

Desarrollo:

A2 = * =

A2 = Se dice que es nilpotente de orden 2MATRIZ INVOLUTIVA
Dada la siguiente matriz A, demostrar que es una matriz involutiva

A = ; Por demostrar: A2 = I

Desarrollo:
A2 = * =

A2 = IMATRIZ ELEMENTAL
La matriz elemental es el resultado de aplicar una operación fundamental de fila a la matriz identidad
Hallar una matriz elemental de la siguientematriz:

A =


Desarrollo:

A = ≈

⇒ IA = ≈ Esta es una matriz elemental


MATRIZ EQUIVALENTE

Sean A = y R =
a.- ¿A es inversible?
b.-Demostrar que A ≈ R. Es decir, determinar una matriz P inversible tal que R = P.A
Desarrollo:

(A I I) = ≈ ≈


Conclusiones:

a.- A noes inversible, puesto que A es equivalente a una matriz R escalonada reducida por filas que no es la matriz identidad

b.- A ≈ R y P = donde P.A = *= = R