pudrete

´
Matem´tica Discreta y Algebra Lineal
a
Mar´ Burgos Navarro
ıa
Jes´s Garc´ Miranda
u
ıa
Pedro A. Garc´ S´nchez
ıa a
Jos´ Carlos Rosales
e
´
´
Departamento de Analisis Matematico, Universidad de Granada

´
Departamento de Algebra, Universidad de Granada

Estas notas se han realizado durante la ejecuci´n del proyecto de innovaci´n docente
o
o
“Recursos TIC en la docenciamatem´tica, interactividad con la pizarra digital”
a
de la Universidad de Almer´
ıa
La mayor parte de los contenidos de estos apuntes han sido extra´
ıdos de los apuntes
´
Notas de Algebra Lineal y Estructuras Matem´ticas
a
y de las notas del curso
Matem´tica Discreta.
a

´
Indice general
Cap´
ıtulo 1. Conjuntos, relaciones de equivalencia y aplicaciones
1. Conjuntos
2. Operacionescon conjuntos
3. Relaciones de equivalencia
4. Aplicaciones entre conjuntos

5
5
5
8
9

Cap´
ıtulo 2. T´cnicas de Conteo
e
1. M´todos elementales de conteo
e
2. Combinaciones
3. Permutaciones

12
12
16
19

Cap´
ıtulo 3. Aritm´tica entera y modular
e
1. Principio de inducci´n y recurrencia
o
2. Los n´meros enteros
u
3. Ecuaciones diof´nticas lineales
a
4. Ecuacionesen congruencias de grado uno
5. El anillo de los enteros m´dulo un entero positivo
o

22
22
26
29
30
32

Cap´
ıtulo 4. Ret´
ıculos y algebras de Boole
´
1. Conjuntos ordenados.
2. Ret´
ıculos
´
3. Algebras de Boole

34
34
39
45

Cap´
ıtulo 5. Grupo sim´trico
e
1. Grupos
2. Subgrupos
3. El grupo sim´trico
e

48
48
49
50

Cap´
ıtulo 6. Teor´ de Grafos
ıa
1.Generalidades sobre grafos
2. Matrices asociadas a grafos
3. Isomorfismo de grafos
4. Grafos de Euler
5. Grafos de Hamilton
6. Grafos bipartidos
7. Grafos planos
8. Coloraci´n de grafos
o
´
9. Arboles

53
53
59
60
64
66
67
69
73
76

Cap´
ıtulo 7. Matrices con coeficientes en un cuerpo. Sistemas de ecuaciones lineales
1. Matrices
2. Determinantes
3. Operaciones elementalesy determinantes

78
78
79
82

3

´
Indice general

4

4. Forma normal reducida por filas (o columnas) de una matriz
5. Rango de una matriz
6. Resoluci´n de sistemas de ecuaciones lineales
o

82
84
86

Cap´
ıtulo 8. Espacios vectoriales y aplicaciones lineales
1. Espacios y subespacios
2. Bases
3. Ecuaciones del cambio de base
4. Ecuaciones param´tricas de un subespaciovectorial
e
5. Aplicaciones lineales
6. Ecuaciones de una aplicaci´n lineal
o
7. Espacio vectorial cociente
8. Ecuaciones cartesianas o impl´
ıcitas de un subespacio vectorial

90
90
92
95
97
99
100
103
105

Cap´
ıtulo 9. Diagonalizaci´n de matrices. Forma normal de Jordan
o
1. Matrices diagonalizables
2. M´todo para diagonalizar una matriz
e
3. Forma normal de Jordan110
110
111
112

Cap´
ıtulo 1

Conjuntos, relaciones de equivalencia y aplicaciones
Contenidos de este cap´
ıtulo
1.
2.
3.
4.

Conjuntos
Operaciones con conjuntos
Relaciones de equivalencia
Aplicaciones entre conjuntos

1.

5
5
8
9

Conjuntos

La idea de conjunto es una de las m´s significativas en Matem´ticas. La mayor parte de los
a
a
conceptos matem´ticos est´nconstruidos a partir de conjuntos. (Existe una aproximaci´n funcional
a
a
o
basada en el λ-c´lculo y la L´gica Combinatoria, que hoy en d´ han tenido una papel fundamental
a
o
ıa
en la programaci´n funcional.)
o
Podr´
ıamos decir que un conjunto es simplemente una colecci´n de objetos a los que llamaremos
o
elementos del conjunto. Esta definici´n nos bastar´ para los contenidos de estecurso, pero desde
o
a
el punto de vista matem´tico es imprecisa y da lugar r´pidamente a paradojas. Desde comienzos
a
a
del siglo XX esta definici´n dej´ de utilizarse por los problemas que acarrea. Por desgracia, dar
o
o
una definici´n precisa est´ bastante lejos de los objetivos de este gui´n.
o
a
o
Cuando x sea un elemento de un conjunto A, escribiremos x ∈ A, que se lee “x...