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TRABAJO DE METODOS NUMERICOS

RICARDO ALFEREZ
GUSTAVO ASTIBIA
LUIS LONGARES
PEDRO PABLO LOPEZ

A)

ERRORES

1. CONCEPTOS GENERALES
2.1. Definiciones

Normalmente no conocemos el valor exacto de x* de una cierta magnitud y tenemos que conformarnos con un valor aproximado x. Dado esto definimos:

* El error absoluto de x como valor aproximado de x menos el valor exacto.Ea(x)=x-x*

* El error relativo de x como el cociente entre el error absoluto de x y el valor exacto de x.

Er(x)= Ea(x)
x*

En la práctica, si x≠0 se suele coger el valor de x en vez de x*;

Er(x)= Ea(x)
x

Normalmente conocemos solo una medida de los errores, es decir, un número Ea(x) tal que |Ea(x)|≤ Ea(x), para el error absoluto; ó Er(x) tal que | Er(x)|≤Er(x) para el error relativo, usaremos también la notación: x*=x± Ea(x) ó x=x*±Ea(x), para el error absoluto, y x*=x(1±Er(x)) ó x=x*(1±Er(x)), para el relativo.

2.2. Fuentes de error

Desde un punto de vista numérico nos interesan 3 fuentes de error:

a) Error de los datos de entrada
Estos pueden ser debidos a dos causas

Mediciones incorrectas
Los aparatos de medida no tienen unaprecisión perfecta, lo que hace que los valores medidos estén afectados de errores que dependen básicamente de la precisión de los aparatos.

Finitud de la representación digital de un dato
Elegida una base natural b>2, cualquier número real “x” no negativo puede ser representado en la forma:

X=anbn+an-1bn-1+…+a1b+a0+a-1b-1+a-2b-2+…, con aj Є z, 0 ≤ a<b(j ≤ n)

y se llamarepresentación digital de x en la base de b. Los coeficientes aj (j ≤ n) reciben el nombre de dígitos o cifras. Para los números racionales seria:
x=

k
bn

(k,n Є z) que tiene 2 representaciones.

Si calculamos con una calculadora que puede representar números con “t” dígitos en base b. En cambio la representación de un numero t con mas de t dígitos no nulos será exactamente igual a x, y lallamaremos fl(x), representación en punto flotante de x.

fl(x) = m · bq ,

donde q Є z y m = ± 0 · a1· a2,…, at b, con aj Є z, 0 ≤ aj < b (j = 1/t) y a1 ≠ 0; que se llama exponente y m, mantisa.

El paso de x a fl(x) se puede hacer por corte, simplemente suprimiendo los dígitos de x a partir de at, o por redondeo, escogiendo fl(x) de manera que el error fl(x) – x sea mínimo. Cuandoesta condición da lugar a dos posibles redondeos, se escoge el del valor absoluto más grande.
Las medidas de error relativo producido en cada caso son:

ET = b1-t, EA = ½ b1-t

b) Error del redondeo durante el calculo

El error en un resultado puede provenir de los de redondeo en el resultado de los cálculos intermedios.
Si no se dice lo contrario, supondremos que, en cada operaciónaritmética (+, -, ·, / ), las medidas de error relativo serán las mismas que en la representación de los datos de partida: ET o EA

c) Error de ruptura del método empleado

Cuando resolvemos un problema matemático por métodos numéricos obtenemos sólo una aproximación numérica del resultado exacto.
El error producido depende del método numérico empleado y recibe el nombre de error deruptura.
Al decidir sobre la utilización de un método determinado, se ha de tener en cuenta no solo su error de ruptura, sino también los errores de redondeo producidos por las operaciones que el método comporta.
Hay que descartar los métodos o algoritmos que comporten cancelaciones de cifras al restar dos cantidades próximas. Ya que en estas cancelaciones se producen errores relativosconsiderablemente grandes, conviene usar fórmulas matemáticamente equivalentes que los eviten.

2. Estimacion y aproximación de errores

El objetivo de cualquier estudio de errores es tratar de conocer el efecto que, sobre el resultado final de un problema numérico, produce cada uno de los diferentes tipos de error que pueden aparecer.
Distinguimos 3 tipos básicos de errores, el error total sobre el...