PUENTES DE KONIGSBERG

Euler dedujo entonces que el problema sólo tendría solución si la suma de los números de la última columna es menor o igual que el número inicialmente puesto. Más concretamente, si esta suma es igual al número inicial (8, en este caso), la ruta comienza en una zona no marcada con asterisco, y si es menor, en una señalada. Obsérvese que en el caso de Königsberg , esta suma es nueve, no menor oigual que ocho, por lo que no hay solución al problema de los puentes de Königsberg . Vamos a realizar, con la perspectiva y conocimientos actuales, algunas observaciones al procedimiento seguido por Euler en su razonamiento, que nos muestran bien a las claras su extraordinaria inteligencia, intuición, agudeza mental y cuantas otras buenas cualidades deseemos atribuirle, con la seguridad dequedarnos cortos en estas apreciaciones e incluso de ser incapaces de captar, en toda su intensidad, la enorme capacidad de razonamiento de tan ilustre personaje. Puede observarse que:
• La suma de los números de la segunda columna, es siempre par, ya que su mitad refleja el número de puentes.
• Si la suma de dichos números se aumenta en dos unidades y luego se divide entre dos, el resultado es elnúmero escrito en la parte superior de la tabla construida.
• Si los números de la segunda columna son todos pares, la tercera columna, formada por las mitades de ellos, sumará una unidad menor que el número escrito inicialmente de la tabla (con lo que la ruta será siempre posible)
• Si en la segunda columna hay sólo dos números impares, la ruta requerida será también siempre posible, porque la sumade la tercera columna coincidirá con el número inicial.
• Si hay más de dos números impares en la segunda columna, la ruta no será nunca posible, pues la suma de la tercera columna superará siempre al número inicialmente escrito. Por tanto, como reglas para cruzar todos los puentes una sola vez, se tienen: 74 SUMA 45 Febrero 2004
• Si hay más de dos regiones a las que conducen un número impar depuentes, la ruta no será posible. • Si sólo hay dos regiones a las que llega un número impar de puentes, la ruta se podrá realizar, comenzando en una de esas regiones.
• Si no hay regiones a las que conduzcan un número impar de puentes, la ruta pedida se podrá realizar, comenzando en cualquier punto. Empleando un lenguaje más actual y propio de las Matemáticas, la solución dada por Euler sepodría enunciar así: La condición necesaria y suficiente para que tal ruta exista es que el número de zonas de la ciudad a las que le llega un número impar de puentes sea 0 (en cuyo caso la ruta será cerrada, es decir, comenzará y acabará en la misma región) o 2 (en cuyo caso la ruta será abierta, es decir, comenzará en una región y terminará en otra distinta). Hay que indicar que, en realidad, Eulersólo demostró la condición necesaria en su artículo de 1735, quizás porque para él, la condición suficiente era trivial. Esta condición suficiente tuvo que esperar casi siglo y medio para ser probada, lo que hizo Carl F. Hierholzer, en 1873 (Hierholzer, 1873).
Los puentes de Königsberg y la teoría de Grafos De lo visto anteriormente puede colegirse que la resolución por Euler del problema de lospuentes de Königsberg constituye un claro ejemplo de un proceso de modelización. En primer lugar, Euler reemplazó el mapa de la ciudad por un simple diagrama de puntos (representando con las letras A, B, C y D, las zonas de la ciudad) y aristas entre ellos (que representaban los siete puentes. Así, la arista a unía las zonas A y B, la d, la A y la C y así sucesivamente, tal como se observa en lafigura). Este diagrama constituye el germen de lo que posteriormente se conocería como grafo, razón por lo que muchos autores consideran a Euler como el padre de la Teoría de grafos. Básicamente, un grafo consiste en un conjunto finito de vértices (puntos) y un conjunto finito de aristas (líneas) entre ellos. En un grafo, dos vértices se dicen adyacentes si ambos son extremos de una arista. Toda...