puentes



UNIVERSIDAD MARITIMA INTERNACIONAL DE PANAMA



FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL MARITIMA

II CONSTRUCCION NAVAL

ECUACIONES DIFERENCIALES

EQUACION DE LAPLACE EN COORDENADAS ESFERICAS

INTEGRANTES:
FALS, GABRIEL
PEREZ, SERGIO
LÓPEZ, JACOBO

INDICE:
¿Qué son coordenadas esfericas?
¿Qué es la ecuación de Laplace?
Propiedades de Laplace
Ecuacion de Laplace en coordenadasesféricas
Ecuacion de Laplace en 3 dimensiones
Ejemplo de un Problema utilizando la ecuación de Laplace



























¿Qué son coordenadas esféricas?
El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos.
En consecuencia,un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio r, el ángulo polar o colatitud θ y el azimut φ.
Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de -90º a 90º (de -π/2 a π/2 radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del acimut, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0º a 360º (0 a2π en radianes) o de -180º a +180º (-π a π).
Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determinado.

Actualmente, el convenio usado en los EEUU es el mismo que el europeo. Para denotar el ángulo azimutal se usa θ y para referirse al polar, latitud o colatitud se usa φ.
Sin embargo, la mayoría de los físicos, ingenieros y matemáticos no norteamericanos intercambian los símbolos θy φ, siendo:
θ la colatitud, de 0º a 180º
φ el azimutal, de 0º a 360º
Esta es la convención que se sigue en este artículo. En el sistema internacional, los rangos de variación de las tres coordenadas son:

La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de r llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, r; vuelve a aumentar, pero θ pasa a valer π-θ y φ aumenta o disminuyeen π radianes.


¿Qué es la ecuación de Laplace?
En cálculo vectorial, la ecuación de Laplace es una ecuación en derivadas parciales de segundo orden de tipo elíptico, que recibe ese nombre en honor al físico y matemático Pierre-Simon Laplace.

Introducida por las necesidades de la mecánica newtoniana, la ecuación de Laplace aparece en muchas otras ramas de la física teórica como laastronomía, la electrostática, la mecánica de fluidos o la mecánica cuántica.
La ventaja de esta operación radica en que bajo ciertas circunstancias se pueden reemplazar funciones complicadas por otras más simples.
La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar una variedad amplia de problemas del inicial-valor. La estrategia es transformar las ecuacionesdiferenciales difíciles en los problemas simples del álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente.
La transformada de Laplace de una función f(t) definida (en ecuaciones diferenciales, o en análisis matemático o en análisis funcional) para todos los números positivos t = 0, es la función F(s), definida por:




Propiedades de Laplace
ç






Ecuacion de Laplace enCoordenadas esféricas
En coordenadas esféricas,

Muchas veces se escribe de la siguiente manera:

donde  es el operador de Laplace o "laplaciano"
que también se escribe como:

donde  es la divergencia, y  es el gradiente
o sino, algunas veces la notación puede ser:

donde  también es el operador de Laplace.
Las soluciones de la ecuación de Laplace se denominan funciones armónicas.
Si dellado derecho de la igualdad se especifica una función, f(x, y, z), es decir, si la ecuación se escribe como:

entonces se tiene la "ecuación de Poisson", por lo que la ecuación de Laplace es un caso particular de esta. La ecuación de Laplace también es un caso particular de la ecuación de Helmholtz.
La ecuación de Laplace, así como también la ecuación de Poisson, son los ejemplos más simples...