PUNTO 2

1. Sea S el conjunto de puntos que son construibles con regla y compas en el plano, comenzando con los puntos (0,0) y (1,0).

a) Describir y caracterizar los elementos de S y estudiar la estructura algebraica del conjunto S.
Definición de número construible: “se dice que un número real a es un número construible si podemos construir un segmento |a| en un número finito de pasos, a partir de estesegmento dado la longitud unitaria, usando regla y compas”
Definición y caracterización del conjunto S.
Por ahora encontramos que los números construibles son algunos números reales, y decimos algunos, dado que: y cos 20° no son construibles, para no entrar en detalles de cuales números reales son o no construibles para este caso solo trabajaremos con los números racionales.
Teorema: Los númerosconstruibles forman un subcampo del campo de los números reales.
Como los números reales son un campo, los racionales forman un subcampo de los mismos reales.
Demostración de estructura algebraica.
cerradura en la suma.
Si a y b son longitudes construibles, entonces a + b también lo es:
Si AB es un segmento de recta de longitud a y CD es uno de longitud b, se puede transferir dicho segmento CD,por medio de un compás, para obtener el diagrama ABE, donde AB es de longitud a y BE es de longitud b. De esta manera el segmento de recta AE es de longitud a +b si b > a.

Cerradura en la multiplicación

Si a y b son longitudes construibles, entonces ab también lo es. Se puede supones que de lo contrario la proposición sería trivial.

Figura 1


Considerándose la Figura 1. Donde L1 y L2 son dosrectas distintas que se intersecan en P, y es tal quepa tiene longitud a, PB tiene longitud b y PJ tiene longitud 1. Sea L3 la recta pasa por J y A y L4 la recta paralela a L3 que pasa por B. si C es el punto de intersección de L1 y L4. Se tiene:


Todas estas construcciones se pueden realizar con regla y compás. Por tanto la longitud de PC es ab, por lo que se considera que ab es construible.Cerradura para la división

Si a y b son construibles y , entonces es construible.



Donde P,A,B,J,L Y L2 son como en la propiedad 2 anterior. Sean L5 la recta que pasa por Ay B, y L6 que pasa por J paralela L5. Si D es el punto de intersección de L1 y L2, entonces, nuevamente por geométrica elemental, l longitud de PD a a/b. Se destaca de nuevo que todas las construcciones realizadas puedenllevar a cabo, regla y compas.

Elemento neutro de la suma:
Dados dos números construibles que están representados por y , tal que , S, ahora debemos mirar que:
+= , entonces tenemos dos formas de mirarlo, la primera es saber si
+= - , por lo tanto decimos que CD va a ser el segmento de longitud igual a cero, esto es que, si a un elemento le sumamos el segmento de longitud 0 obtenemos elmismo segmento, por lo tanto el este segmento será el modulo en la suma.
De forma geométrica también lo podemos ver de la siguiente forma, primero si sabemos que es un segmento cualquiera, cual es el segmento que debemos añadirle o sumarle para que nos de cómo de resultado el mismo segmento , y como sabemos la longitud que permite hacer esto es cuando realmente no hay longitud, por lo tanto de estaforma también demostramos que el segmento de longitud 0 es el modulo en la suma de números construibles.

Esto demuestra que los números racionales no negativos son longitudes construibles, ya que son cocientes de enteros no negativos, los cuales se sabe que las longitudes son construibles.
b) ¿Qué relación existe entre los números construibles y los números algebraicos?
Dado el siguientediagrama, podemos observar la relación de contenencia entre cada uno de los conjuntos.
Teniendo en cuenta que los números reales pueden subdividirse en conjuntos según muchos criterios de clasificación, como los son los números algebraicos y los números trascendentes.
A partir de esto se analiza la definición de número algebraico:
Los números algebraicos son los números reales que son solución de...