Punto de equilibrio

MODELO DE EQUILIBRIO
En la determinación de las ganancias o beneficios de una organización, expresada como la diferencia entre ingresos totales y costos totales, adquiere gran importancia el concepto de punto de equilibrio, es decir el punto de beneficio 0 (cero) en donde
 CT = I.
Cualquier cambio en esta igualdad genera déficit o superávit, ganancia o pérdida.
Para este análisis suponemosque los costos variables o costo por unidad de producción y los ingresos por ventas son lineales
 
Punto de equilibrio:
Si el costo total de producción excede a los ingresos obtenidos por las ventas de los objetos producidos, la empresa sufre una pérdida; si, por el contrario, los ingresos superan a los costos, se obtiene una utilidad o ganancia. Si los ingresos obtenidos por las ventasigualan a los costos de producción, se dice que el negocio está en el punto de equilibrio o de beneficio cero.
Si una empresa posee una función de costos C(x), una función de Ingresos I(x), dadas por:
C(x) = cx + k c: costo de producción por unidad; 
                                 k: costo fijo
                                x: cantidad producida del bien                                 
I(x) = sx s: precio de venta por unidad
                           X: cantidad vendida del bien
La función de beneficio B(x) estará dada por la diferencia entre la función de ingresos y la función de costos. 
B(x) = I(x) - C(x)
B(x) = (s - c)x - k
En el punto de equilibrio la empresa no tiene ganancias ni pérdidas 
B(x´) = 0, entonces I(x´) = C(x´)
El punto P(x´; p´) es la solución simultánea delas ecuaciones p = C(x) y p = I(x) y recibe el nombre de punto de equilibrio; x´ es la cantidad de equilibrio y p´es el precio de equilibrio. 
Geométricamente P(x´; p´) es la intersección de las rectas que representan a las funciones de costos y de ingresos. 
Si x < x´, entonces I(x) < C(x), luego B(x) < 0 indicando que la empresa produce con pérdidas.
Si x = x´ se tiene el punto de equilibrio,la empresa no gana ni pierde.
Si x > x´, entonces I(x) > C(x), luego B(x) > 0 lo que indica que la empresa opera con ganancias. 
Gráfica de la zona de pérdida
 
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Gráfica de la zona de ganancias
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Ejemplo 1: Los costos fijos de una empresa (luz, teléfonos, alquileres etc.), que son independientes del nivel de producción, ascienden a $ 250.000. El costo variable o costo por unidadde producción del bien es de $ 22,50. El precio de venta del producto es de $ 30,00 por unidad. Calcular su punto de equilibrio.
 
Podemos determinar la función de costos totales C(x) = 22,50x + 250.000 y la de Ingresos totales I(x) = 30x. 
El punto de equilibrio se puede hallar: 
a) Trabajando con la función beneficio definida como la diferencia entre ingresos y costos B(x) = I(x) –C(x) y buscando el valor para el cual la utilidad es igual a 0 (cero).
B(x) = I(x) – C(x)
B(x) = 30x – (22,50x + 250.000)
B(x) = 7,50x – 250.0000
En el punto de equilibrio B(x) = 0 
0 = 7,50x – 250.000
     x = 250.000 / 7,50
     x = 33.333,33 unidades
y = $99.999,9 
     Las coordenadas del punto de equilibrio serán (33.333,33; 99.999,9)
 
b) Igualandolos ingresos a los costos, es decir I(x) = C(x)
30x = 22,50x + 250.000
30x – 22,50x = 250.000
7,50 x = 250.000
x = 250.000/ 7,50
x = 33.333,33 Unidades
y = $99.999,9
 La empresa tendrá beneficio 0 (cero) o estará en el punto de equilibrio (no gana ni pierde) cuando produce y vende 33.333 unidades.
En dicho punto tenemos:
I(x) = 30x = 30 33.333 =100.000
C(x) = 22,50 x + 250.000 = 22,50 33.333 + 250.000 = 100.000
 
Así podemos concluir que con menos de 33.333 unidades producidas y vendidas la empresa tendrá déficit (pérdida) y con cualquier cantidad superior tendrá ganancia.
Gráficamente: 
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El punto de equilibrio nos permite medir no solo una relación entre ingresos y costos, sino que tiene otras...