PUNTO DE EQUILIBRIO

Límite de Funciones Exponenciales 
Los límites exponenciales son límites de funciones exponenciales. Sus indeterminaciones se resuelven por el siguiente teorema. 




En remplazo director del anterior límite es indeterminado, sin embargo recurriendo a artificios algebraicos (Binomio de Newton), puede obtenerse el típico desarrollo del Numero Natural: e 
Definici´on 1 (Funci´on exponencial) Lafunci´on f es una funci´on exponencial de base a si es de la forma f(x) = a x , con a > 0, a 6= 1 y x es un n´umero real. ¿Qu´e significa exactamente a x si x no es racional? Sabemos que, por ejemplo, 2 3/2 = √ 2 3, 2 p/q = √q 2 p, pero, ¿c´omo se calcula 2 √ 3 ? Aunque no es el objetivo de este curso, basta con saber que cualquier n´umero real, por ejemplo √ 3 se puede aproximar tanto como queramospor una sucesi´on de n´umeros racionales.
Definición de función logarítmica
Una función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) == logax, siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1.
La función logarítmica es la inversa de la función exponencial (ver t35), dado que:
loga x = b  ab = x.

Representación gráfica de funciones logarítmicas y de susinversas (exponenciales).
Propiedades de la función logarítmica
Las propiedades generales de la función logarítmica se deducen a partir de las de su inversa, la función exponencial. Así, se tiene que:
La función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. Por tanto, su dominio es el intervalo (0,+).
Las imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmicacorresponden a cualquier elemento del conjunto de los números reales, luego el recorrido de esta función es R.
En el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que loga 1 = 0, en cualquier base.
La función logarítmica de la base es siempre igual a 1.
Finalmente, la función logarítmica es continua, y es creciente para a > 1 y decreciente para a < 1.
Ecuaciones logarítmicas
Cuando en unaecuación la variable o incógnita aparece como argumento o como base de un logaritmo, se llama logarítmica.
La resolución de ecuaciones logarítmicas se basa en los mismos procedimientos utilizados en la resolución de las ecuaciones habituales. Aunque no existen métodos fijos, habitualmente se procura convertir la ecuación logarítmica en otra equivalente donde no aparezca ningún logaritmo. Para ello, seha de intentar llegar a una situación semejante a la siguiente:
loga f (x) = loga g (x)
Entonces, se emplean los antilogaritmos para simplificar la ecuación hasta f (x) = g (x), que se resuelve por los métodos habituales.
También puede operarse en la ecuación logarítmica para obtener una ecuación equivalente del tipo:
loga f (x) = m
de donde se obtiene que f (x) = am, que sí se puede resolver dela forma habitual.
En matemática, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variableindependiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto altiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km entre las 12:00 y las 18:00, viaja auna velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta...