Punto Falso

CAPÍTULO 2. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE UNA ECUACIÓN NO-LINEAL EN UNA VARIABLE
INTRODUCCIÓN El objetivo de este capítulo es estudiar algunos métodos numéricos para hallar raíces reales de una ecuación no-lineal en una variable (sólo se estudiarán raíces complejas para ecuaciones polinómicas). En la siguiente definición formalizamos el concepto de raíz de una ecuación. raíz (en D) de la ecuación f (x) =0 , o un cero (en D) de la función f si f (α ) = 0 . ∇ Definición 2.1 Sea f: D → R,

D ⊆ R , una función dada. Un número α ∈ D se dice una

Como veremos, los métodos numéricos que estudiaremos para encontrar una raíz α de una ecuación f (x) = 0 , generarán una sucesión {xn }n , n = 0,12,... (Métodos iterativos) tal que , sucesión {xn }n ; así que no se espera, en general, calcular lim xn .Por lo tanto, deberemos
n→∞ n→∞

lim xn = α . Cualquiera de tales métodos numéricos permitirá calcular los términos de la

disponer de algún criterio para escoger un término de la sucesión aproximación de la raíz buscada α . CRITERIOS DE APROXIMACIÓN

{xn }n ,

n = 0,12,... como ,

Supongamos que la función f es continua en alguna vecindad de α que contiene a la sucesión {xn }n , n =0,12,... , y que la sucesión {xn }n es tal que lim xn = α . Entonces , para todo n ≥ N se tiene que f (xn ) < ε . Teniendo en cuenta lo anterior, dado un número ε > 0 adecuadamente pequeño, al cual llamaremos Tolerancia y que notaremos Tol, podríamos escoger como aproximación de la raíz α al término xN de la sucesión mencionada, donde N es el menor entero no-negativo que satisface i) f (xn ) < ε
n→∞lim f (xn ) = f (α ) = 0 y así, dado cualquier número positivo ε, existe N ∈ N

n→∞

= {0,1,2,...} tal que

, Por otro lado, como lim xn = α significa que dado ε > 0 , existe N0 ∈ N = {0,12,...} tal que si
n→∞

n ≥ N0 , entonces xn − α < ε , y esto implica que xN0 +1 − xN0 = xN0 +1 − α + α − xN0 ≤ xN0 +1 − α + xN0 − α < ε + ε = 2ε entonces también podríamos tomar como aproximación dela raíz α al término xN de la sucesión mencionada, donde N es el menor entero no-negativo tal que

34 MÉTODOS NUMÉRICOS ____________________________________________________________

______________________ ii)

xn − xn −1

0 previamente escogida, cualquiera de los tres criterios mencionados, se adoptará como criterio para obtener una aproximación de una raíz α . Ahora, en cuanto a loscriterios de aproximación anteriores, es fácil ver que el hecho de que f (xN ) < ε o xN − xN−1 < ε no necesariamente indica que xN esté muy cerca de α, como puede apreciarse en la FIGURA 2.1 y en el ejemplo 2.1 siguientes.

FIGURA 2.1 Ejemplo 2.1 Consideremos la ecuación f (x) = 0 donde f (x) = (x − 1)
10

. Es claro que α = 1 es 1 converge a n

una raíz de esta ecuación, y que la sucesión {xn}n , n = 1,2,... donde xn = 1 + dicha raíz.

Si tomamos como tolerancia ε = 10 −3 , al aplicar el criterio de aproximación i), se tiene que 1   f (xn ) < ε ⇔  1 + − 1  n 
10

=

1 n10

< 10 −3 ⇔ n10 > 10 3 ⇔ n ≥ 2

Si tomamos como aproximación de α al término x 2 = 1 + observamos que α - x 2 = 1 −

1 3 = de la sucesión mencionada, 2 2

1 3 1 no es menor que ε = 10 −3 ;realmente α − x 2 = ,y 2 2 2

es una distancia muy grande entre α y x 2 . Vea la FIGURA 2.2. Si usamos el segundo criterio con la misma tolerancia, debemos encontrar n tal que

xn − x n − 1 < ε ⇔ 1 +

1  1  1 1 − < 10 −3 − 1 +  = n  n − 1 n n−1

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Resolviendo esta última desigualdad se obtiene que si n ≥ 33 , entonces xn − xn −1 < ε = 10 −3 , así que la aproximación de α obtenida, usando este criterio, sería x 33 = 1 + 1 1 . = 1030... , y la distancia α − x33 = no es menor que ε = 10 −3 . 33 33 1 . = 100099.. .. 1001

Observe que para que α − xn < ε = 10 −3 , debe tomarse xn = x1001 = 1 + 1 1  ( α − xn < ε ⇔ 1 −  1...