Punto fijo de schauder

Teorema del Punto Fijo de Shauder

Diciembre 2010
Sea K un subconjunto convexo y compacto de un espacio de Banach X y f : K → K continua. Entonces f tiene por lo menos un punto fijo en K. Demostraci´n: o Dado ε > 0 ∃Fε = {x1 , ..., xN } ⊂ K, ∀x ∈ K ∃xj ∈ Fε tal que: x − xj < ε Sea h : K → co (Fε ) una funci´n continua construida como antes. o Denotemos por g = h ◦ f , asi tenemos el siguientediagrama. K @
f

- K
g

@ h R @ ? co(Fε )

Como K es convexo se tiene que co(Fε ) ⊆ K, Fε ⊂ K. g|co(Fε ) es continua, pero co(Fε ) ⊂ Sp{x1 , ..., xN } que es de dimensi´n finita, o luego Sp{x1 , ..., xN } es isomorfo a RM , con M ≤ N , as´ como co(Fε ) es cerrado ı y convexo, entonces co(Fε ) es Homeomorfo a una bola E M , por consiguiente g|co(Fε ) tiene un punto fijo x ∈ co(Fε ) ⊂ K, x =g(¯) = (h ◦ f ) (¯) = h (f (¯)) ¯ ¯ x x x pero sabemos que: g(¯) − f (¯) = h (f (¯)) − f (¯) = h (f (¯)) − f (¯) = x − f (¯) < ε x x x x x x ¯ x (por el lema anterior) Por lo tanto si ε =
1 m,

m ∈ N, encontraremos que:

1 {xm } ⊂ K f (xm ) − xm < m ∀m ∈ N Ahora siendo K compacto ∃ {xms } ⊂ {xm }, subsucesi´n convergente, a un o punto x0 ∈ K, Ademas tenemos;

f (xms ) − x0 ≤ f (xms ) − xms +xms − x0 ⇒ x0 = lim f (xms ) = f
s→∞ s→∞

lim xms = f (x0 )

y por lo tanto x0 = f (x0 )

1

Lema. (Lema De Mazur) Sea un espacio de Banach X, con K ⊂ X compacto. Entonces co(K), es compacto. Demostraci´n. o Por definici´n de co(K) se deduce que co(K) es cerrado y como co(K) ⊂ X, o con X completo tenemos entonces que co(K) es completo. Recordar : Y es compacto (Y, d) ⇔ Y es completo ytotalmente acotado. S´lo resta probar que co(K) es totalmente acotado, esto es o dado ε > 0, ∃B1 (ω1 , ε), ..., BN (ωN , ε) con ωi ∈ co(K), i = 1, ..., N tal que:
N

co(K) ⊂
i=1

Bi (ωi , ε)   aj = 1 

Por definici´n de co(K) = o

  

z=
j

aj yj : yj ∈ K, aj ≥ 0
j

Como K es compacto, dado ε > 0, ∃Fε subcubrimiento finito asociado a K, por lema anterior ∃h : K −→ co(K) continuacon h(x) − x < ε ∀x ∈ K
n n

Si z ∈ co(K) ⇒ z =
j=1 n

bj zj , bj ≥ 0,
j=1

bj = 1, zj ∈ K

es claro que
j=1

bj zj ∈ co(K).

[ h(zj ) ∈ co(Fε ) ⊂ co(K) ]
n n n

z−
j=1

bj h(zj ) =
j=1

bj (zj − h(zj )) ≤
j=1

bj zj − h(zj ) < ε (1)

⇒ d (z, co(Fε )) < ε ∀z ∈ co(K)

Asi tenemos que co(Fε ) es cerrado y acotado,en un subespacio de dimensi´n o finita, luego co(Fε ) escompacto, entonces existe un n´mero finito de bolas u
n

Vεk (zk ) 1 ≤ k ≤ m, zk ∈ co(Fε ) co(Fε ) ⊂
k=1

Vεk (zk )

esto quiere decir que dado z ∈ co(Fε ) ∃ko = 1, ..., m tal que: ¯ d(¯, zko ) < ε, zo ∈ co(Fε ) z De (1) resulta que dado z ∈ co(Fε ), d(z, z ) < ε ¯ (2)

2

y por (2) concluimos ; d(z, zko ) < d(z, z ) + d(¯, zko ) < 2ε ¯ z Resumiendo; dado z ∈ co(Fε ) existe un n´merofinito de bolas u Vεk (zk ) 1 ≤ k ≤ m; zk ∈ co(Fε ) ⊂ co(K) tales que:
n

co(K) ⊂
k=1

k V2ε (zk )

y por lo tanto co(K) es compacto Corolario. Sea X un espacio de Banach y S ⊂ X cerrado, acotado y convexo,f : S −→ S continua con f (S) compacto, entonces f tiene al menos un punto fijo en S Demostraci´n o f (S) ⊂ S ⇒ f (S) ⊂ S = S, como f (S) es compacto κ f (S) es compacto (por lema anterior)κ f (S) ⊂ co(S) = S (S convexo y cerrado). Adem´s a f κ f (S) ⊂ f (S) ⊂ κ f (S) As´ f : κ f (S) −→ κ f (S) ı; posee al menos un punto fijo en κ f (S) ⊂ S (Teo. del punto fijo de Shauder)

1
1.1

Ejemplos
Ejemplo
t∈I

Sea I ∈ R Ejercicios un intervalo compacto, X = C (I, Rn ) [es un espacio de
Banach], f = sup |f (t)| Fijamos a > 0, M > 0 y consideramos; K = f ∈ X : |f (t)| ≤ a y |f (t) − f(t )| ≤ M |t − t | t, t ∈ I ⇒ K convexo, cerrado y compacto. En consecuencia; x = f (x, t) xo = xo (to ) posee al menos una soluci´n (en verdad es unica) o ´ - Sean f, g ∈ K, 0 ≤ r ≤ 1 * |(rf + (1 − r)g) (t)| ≤ r |f (t)| + (1 − r) |g(t)| ≤ ra + (1 − r)a = a * |(rf + (1 − r)g) (t) − (rf + (1 − r)g) (t )| ≤ r |f (t) − f (t )|+(1−r) |g(t) − g(t )| ≤ rM t − t + (1 − r)M t − t = M |t − t |

3...