Punto_fijo

Matemática aplicada 3
M. A. Alfonso Velásquez

Facultad de Ingeniería

Método de Punto Fijo
Los métodos abiertos, emplean una fórmula para predecir la raíz. Esta fórmula puede
desarrollarse como unaiteración simple de punto fijo, al reordenar la ecuación f(x) = 0 de tal modo
que x esté del lado izquierdo de la ecuación:
y=x

b
P = g (p)
p

y=g(x)

a
a

b

p

Esta transformación se realizamediante operaciones algebraicas o simplemente sumando x a cada
lado de la ecuación original. Para poder garantizar que la función encontrada tiene punto fijo
tenemos el siguiente teorema:

Teorema de Puntofijo:
en

Sea
tal que
para toda x en
y una constante positiva k < 1 cuando

. Además supongamos que existe

, para toda
Entonces, para cualquier número p0 en

, la sucesión definida por
,

Convergeen el único punto fijo p en

ALGORITMO:
Para obtener una solución a

dada una aproximación inicial

ENTRADA
SALIDA

aproximación inicial
solución aproximada

Paso 1

Tome

Paso 2

Mientras

Paso 3

;tolerancia TOL; número máximo de iteraciones
o mensaje de fracaso.

.

Tome

:

haga pasos 3 – 6.
.

.

Paso 4

Si

entonces

SALIDA p = …
Paso 5

PARE.
Tome

Paso 6

Tome

Paso 7

.
.

SALIDA “Elmétodo fracaso después de N0, procedimiento terminado sin éxito”
PARAR.

Ejemplo 1: Use el método de punto fijo para aproximar una solución de:
; con las condiciones
Encontrando
a)

:

Primeraposibilidad
Sumando

x = x 3 + 2x 2 + 10x –20 + x

de ambos lados de la ecuación:
Simplificando

x = x 3 + 2x 2 + 11x –20

Se obtiene
Hacemos la prueba:

,

Derivando g1 (x) tenemos:
tenemos:

Valuando para
b), (no cumple)

Segunda posibilidad
x3 + 2x2 + 10x - 20 = 0

De la ecuación:

Despejando el termino constante:

x3 + 2x2 + 10x = 20
x ( x2 + 2x + 10) = 20
20
x= 2
x + 2 x + 10

factor común x:despejando:
se llega:
Hacemos la prueba:

Derivando g2 (x) tenemos:

Valuando para

tenemos:

,

Por lo tanto

tiene un punto fijo en

Algoritmo:
ENTRADA

.

SALIDA

solución aproximada

Paso 1

Tome...