Punto Flotante

Métodos numéricos por computadora
Profesor: Flavio Reyes Ramírez


REPORTE
DE
Representación de punto flotante

Alumnos:
Ancona Ek José Benito 080100032

Ingeniería industrial
Fecha: 6 de marzo 2012

Introducción
La representación de coma flotante, es una forma de notación científica usada en los CPU, GPU, FPU, etc., con la cual se pueden representar números realesextremadamente grandes y pequeños de una manera muy eficiente y compacta, y con la que se pueden realizar operaciones aritméticas. El estándar para la representación en coma flotante es el IEEE 754.
Como la representación en coma flotante es casi idéntica a la notación científica tradicional, con algunos añadidos y algunas diferencias, primero se describirá la notación científica para entender cómofunciona, y luego se describirá la representación de coma flotante y las diferencias.

Estándar IEEE 754

Dentro del estándar IEEE 754, se definen varios formatos, como ser el simple de 32 bits, el doble de 64 bits, además de los conocidos como simples ampliados y dobles ampliados.
El formato que se implementará en este trabajo práctico es conocido como el formato simple, de 32 bits derepresentación en punto flotante.
Este formato, como muestra la figura 1, tiene un bit para el signo, 8 bits para el exponente y 23 bits para la parte fraccionaria o mantisa. El exponente es sesgado (“biased”); esto significa que un valor constante, llamado sesgo, se resta del campo del exponente para conseguir el valor del exponente verdadero. En el caso del formato simple, el valor del sesgo es 127.¿Cómo se escribe un número en el Estándar IEEE 754?
El estándar IEEE 754 ha sido definido por el Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos (Institute of Electrical and Electronics Engineers, IEEE) y establece dos formatos básicos para representar a los números reales en la computadora digital: precisión simple y precisión doble.
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Precisión Simple en el Estándar IEEE 754

Enprecisión simple, para escribir un número real se usan 32 bits (4 bytes): 1 bit para el signo (s) del número, 23 bits para la mantisa (m) y 8 bits para el exponente (exp), que se distribuyen de la siguiente forma:

Figura - Representación de un número real con precisión simple en el estándar IEEE 754.

El exponente se suele representar en Exceso a 2n-1-1, mientras que, para la mantisa, normalmentese utiliza Signo Magnitud. Además, la mantisa se suele normalizar colocando la coma decimal a la derecha del bit más significativo.

Ejemplo 1:
Para escribir el número 101110,0101011101000011111000011111000100112 en el estándar IEEE 754 con precisión simple, exponente en Exceso a 2n-1-1 y mantisa en Signo Magnitud, primero hay que normalizarlo:

1,011100101011101000011111000011111000100112x 25

El exponente, en Exceso a 2n-1-1, será:

510 + (28-1 - 1)10 = 510 + (27 - 1)10 = 510 + (128 - 1)10 = 13210 = 10000100EX. a 127

De la mantisa se cogen los bits 23 bits más significativos:

1,0111001010111000000111
El resto de bits no se pueden representar, ya que, no caben en la mantisa. Sin embargo, cuando la mantisa se normaliza situando la coma decimal a la derecha del bit mássignificativo, dicho bit siempre vale 1. Por tanto, se puede prescindir de él, y coger en su lugar un bit más de la mantisa. De esta forma, la precisión del número representado es mayor. Así, los bits de la mantisa serán:

01110010101110100001111
Al bit omitido se le llama bit implícito. Por otra parte, el bit de signo vale 0, ya que, el número es positivo. En consecuencia, el número se puederepresentar como:

Los programadores, para representar a los números reales en este formato, suelen utilizar el Sistema Hexadecimal.

Así pues,

En este caso, los números no son exactamente iguales, ya que, con precisión simple no se han podido representar todos los bits de la mantisa.

Ejemplo 2:

Dado el número 3E400000CFL del estándar IEEE 754 con precisión simple, exponente en Exceso...