Puntos criticos

Ej: indicar valores y puntos criticos maximos y minimos relativos y absolutos, intervalos de creciente y decreciente de la curva y sus puntos de inflexion. f(x) =x3 -8x2+16 (x al cubo menos 8 xal cuadrado + 16)

Hola, aquí estoy con tu duda.  Veamos la función:  8   Lo primero es ver cuáles son los puntos críticos. Para eso empezamos buscando la derivada primera y para qué valor se hace cero.  3 Esto sale de las reglas de derivación:   La derivada de una suma es la suma de las derivadas y la derivada de una función con la variable elevada a un exponente es igual al producto del exponente por la variable elevada al  exponente menos uno.  Ahora la tenemos que igualar a cero:  3 16 0  16   16 Si aplicás la ecuación de segundo grado para encontrar las raíces, es decir la expresión:  √ 2 4  

,

te vas a encontrar con dos valores de x, que hacen que la expresión sea igual a cero. Entonces:  16
,

16 2.3

4.3.0  Cómo tenés que trabajar con el más y con el menos, tenés como resultado dos valores, que  son:  16 6 Y  16 6   16 0  16 5,33 

Entonces sabés que para x = 0 y para x = 5,33 la derivada primera de tu función se hace cero.  Entonces si la derivada de la función en esos puntos se hace cero, significa que:  a) Venía creciendo y empezó a bajar: en ese caso se trata de un máximo.   b) Venía bajando y empezó a subir: en ese caso se trata de un mínimo  c)Venía creciendo (o bajando), se toma un respiro y sigue creciendo (o bajando): en ese  caso se trata de un punto de inflexión a tangente horizontal. Bueno, veamos ahora de que se trataban tus puntos. Para esto tenemos que ir a la derivada  segunda:  6 Para derivar utilicé los mismos principios de antes.  Evaluemos ahora nuestros puntos críticos, es decir x = 0 y x = 5,33  6.5,33 16 16  16 En este primer caso, el valor es positivo (el 16 del resultado). Esto significa que en el punto  x=5,33 hay un mínimo.  Vamos con el 0  6.0 16 16 ...