Puntos De Bifurcacion

Apéndice “A”


TEORIA DE BIFURCACION

En muchos problemas físicos alguna cantidad observable, como una velocidad, forma de onda o reacción química, depende de un parámetro que describe elestado físico. A medida que aumenta este parámetro, se alcanza un valor critico en que la velocidad, forma de onda o reacción cambia repentinamente su carácter. Por ejemplo, al aumentar la cantidadde uno de los compuestos químicos de una mezcla, en un fluido originalmente estático, repentinamente surgen patrones de onda en espiral de color cambiante. En muchos de estos casos el análisismatemático produce finalmente una ecuación de la forma

dx/dt=(R-R_c )x-ax^3 (i)

Aquí a y R_c son constantes positivasy R es un parámetro que puede tomar varios valores. Por ejemplo, R puede medir la cantidad de cierto compuesto químico y x puede medir una reacción química.


Si R R_c, demuestre que existentres soluciones de equilibrio, x=0 y x=±√((R-R_c)/a), y que la primera solución es inestable, en tanto que las otras dos son estables.
Trace una gráfica en el plano R x que muestre todas lassoluciones de equilibrio e identifique cada una de ellas como inestable o estable.

El punto R=R_c se llama punto de bifurcación. Para RR_c las soluciones estables (y por lo tanto las observables)son x= √((R-R_c)/a) y x=-√((R-R_c)/a). Debido a la manera en la que las soluciones se ramifican en R_c, este tipo de bifurcación se le conoce como bifurcación de horquilla; su grafica debesugerir que éste nombre resulta adecuado








Apéndice “B”


SOLUCION ECUACION (i)

dx/dt=(R-R_c )x-ax^3

Notemos que es una ec. de Bernoulli ya que tiene la formay´+P(x)y=Q(x)y^n

Con P(t)=-(R- R_c) ,Q(t)= -a y n=3
v=x^(1-n) =〖 x〗^(-2)
v´=(1-n) x^(-n) x´=-2x^(-3) x´
Multiplicando (i) por ( -2x^(-3))
-2x^(-3) x´+2x^(-3) (R-R_c )x=2x^(-3) ax^3
v´+2(R-R_c )v=2a...