Puntos singulares y singularidad

Puntos singulares y singularidades.
Si f : ℂ → ℂ es una función tal que f(z) no es analítica en z0 entonces, decimos que z0 es un
PUNTO SINGULAR O SINGULARIDAD de f(z). Además, decimos que:
ü ftiene una SINGULARIDAD AISLADA en z0 si ∃ δ > 0 tal que |z - z

0

| ≤ δ no

contiene ningún punto singular distinto de z0.
Si z0 no es un punto singular, es decir si | z – z0 | ≤ δ no contienepuntos singulares y
f es derivable en z0 , decimos que z0 es un punto ordinario.
ü f tiene un POLO de orden n (n > 0) en z0 si ∃ n ∈ ℕ (naturales) tal que:
Lim n → ∞ ( z – z0) n .f(z) ≠ 0.
• z0 esun cero de orden n.

• Si n = 1 se denomina POLO SIMPLE.
• Si z0 es cero de g(z) entonces z es polo de 1/g(z).
ü f tiene un PUNTO DE RAMIFICACION en z0 si f (z0 ) = 0.
ü f tiene una SINGULARIDADREMOVIBLE en z0 si f tiene una singularidad en z0 y
∃ Lim z → zo f(z).
ü f tiene una SINGULARIDAD ESENCIAL en z0 si z0 no es ni POLO, ni PUNTO DE
RAMIFICACIÓ ℂ N, ni SINGULARIDAD ESENCIAL.
• Siuna función unívoca tiene una singularidad, entonces la singularidad es polo o
es singularidad esencial. Por esta razón un polo se denomina a veces singularidad
evitable. Equivalentemente, z = z0 essingularidad esencial si existe n ∈ ℕ tal que
Lim n → ∞ ( z - z0 ) n . f(z) ≠ 0.
ü f tiene una SINGULARIDAD en ∞ si f tiene una singularidad en z0 = ∞ .
• Además la función f(1/z) tiene unasingularidad en cero.
Al contrario que ocurre con las funciones reales de variable real, las funciones complejas
elementales (exponenciales, potencias, logaritmos, etc.) no son siempre isomorfismos, sinoque en
algunos casos son funciones periódicas, no existiendo por tanto en algunos casos inversas en
sentido estricto.

Por lo que se nos planteará el problema de determinar regiones (regionesfundamentales), en las
cuales dichas funciones sean inyectivas y por tanto restringidas a dicha región si tienen inversa.
# Ejemplo:

Ω = { z ∈ C : a < Arg z < a + 2 (π / n)}

donde a ∈ ℝ,

es...