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Toda sucesión real lleva dentro suyo una subsucesión monótona

El siguiente teorema, de apariencia inofensiva, tiene un significado profundo, y una de
sus consecuencias es que, dicho brevemente, todasucesión real acotada tiene una
subsucesión convergente.
Teorema. Toda sucesión de números reales tiene una subsucesión monótona
Demostración. Sea ( x n ) n ≥1 una sucesión real. Diremos que uníndice p es de
contención de la sucesión, si x p ≤ x m para todo entero m ≥ p .
Observar que vez fijado p, si éste es de contención, ello significa que el número x p es
una cota inferior para todos loselementos de la sucesión cuyos índices son superiores a
p. Esto se visualiza notando que x p se encuentra a la izquierda de todos aquellos
elementos de la sucesión cuyos índices son
mayores que p .
Así,por ejemplo, si 7 fuese de contención
para la sucesión, podemos asegurar que x 8 , x 9 , . .. están a la derecha de x 7 . Por otra

xp

xn con n ≥ p

parte, nada podemos asegurar sobre la ubicaciónrelativa de los primeros 6 términos de
la sucesión.
Observar que un índice q fracasa en ser índice de contención, cuando para algún índice
k > q , es x k < x q .
Ahora bien, en cuanto a la cantidad deíndices de contención, puede ocurrir dos cosas:
O bien hay infinitos índices de contención, o bien solamente hay un número finito de
tales índices.
Supongamos que hay infinitos números de contención. Eneste caso podemos encontrar
unos índices de contención

n1 < n 2 < n3 < ... < n k < ...
Como n1 es de contención, siendo n 2 > n1 , la definición nos asegura que x n 1 ≤ x n 2
Análogamente, puesto quen 2 es de contención, y que n3 es un índice mayor que n 2 , la
misma definición de contención nos asegura que x n 3 está a la derecha de (o coincide
con) x n 2 .
Esto podemos continuar haciéndolo concada índice, y de este modo hemos conseguido
la subsucesión creciente

x n 1 ≤ x n 2 ≤ x n 3 ≤ ... ≤ x n k ≤ ...
Hemos probado la afirmación para el caso de infinitos índices de contención....