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TRABAJO PRÁCTICO VI

FUNCIÓN HOMOGRÁFICA

FUNCIÓN HOMOGRÁFICA

¿Por qué se debe cumplir

c  0  ad  bc  0 ?
La forma general de una función homográfica es y  f ( x ) 

ax  b
si c  0  ad  bc  0
cx  d

¡Veamos qué sucede si no se cumple!
Si c  0  y 

ax  b

 y

d

x

d

NO. Está definida para todo número x real excepto para aquel
que anula eldenominador o sea cuando cx  d  0

Dominio: el único valor real que no pertenece al dominio es la raíz del denominador, ya que no

d

ad  bc  0  ad  bc 

a
c

b
d

a

b x+b 
ax+b
b
b

y=
 y=
 y=
cx  d
d
c

d  xd 
d


Entonces f resulta una función constante

podemos dividir por cero.
d


 d
Simbólicamente Dom f   x   / cx  d  0  x   /   0       
c


 c

Decimos entonces

ax  b
 d
f :       / y  f ( x ) 
con c  0  ad  bc  0 es una función homográfica
cx  d
 c

La gráfica de la función homográfica es una hipérbola.

A continuación estudiaremos la función para ello definiremos ceros, intersecciones con los ejes, asíntotas y signo de la misma.
Alicia Fraquelli - Andrea Gacheb

Entonces f resulta una función lineal

¿Siempre f está definida
para todo número real x?

a

~ Trabajo Práctico VI

~

1

Ejemplo 1: f ( x ) 

2x  4
x2

Dominio: f no está definida si x  2  0  x  2 luego Dom f   x  / x  2 o sea Dom f    2

Recordamos que para que
el cociente sea cero, deberá
ser cero el numerador.
Ceros: para hallarlos debemosigualar a cero a la función f ( x ) 

2x  4
x2

En consecuencia resolvemos 2 x  4 = 0 luego x =  2
Si escribimos el par ordenado: como abscisa al cero de la función y como ordenada su imagen “0” se
obtiene la intersección de la función con el eje x entonces Corte con el eje x:

  2;0 

Corte con el eje y: el mismo se determina calculando f ( 0 ) y la intersección es el punto P  0; f ( 0 ) 
f( x)

2x  4
x2

 f (0 ) 

2.0  4
4

 2  f ( 0 )  2
02
2

En este caso: El corte con el eje y es el punto

Alicia Fraquelli - Andrea Gache

 0; 2 

~ Trabajo Práctico VI

~

2

Asíntotas: Las asíntotas son rectas a las que la gráfica de la función se “acerca indefinidamente”.
Asíntota vertical: La función f ( x ) 

d
ax  b
no estádefinida para el valor real  porque anula el denominador, pero si para valores “muy
c
cx  d

cercanos” a él. Si hacemos los cálculos veremos que cuando más nos acercamos a dicho valor las imágenes se hacen más grandes en valor absoluto
(ya sea positivas o negativas).

Es por eso que la recta x  
En el ejemplo f ( x ) 

d
es asíntota vertical (AV) en la gráfica de la función.
c

2x 4
la función no está definida para el número real x  2 excluido de su
x2

dominio entonces la asíntota vertical es la recta x  2

Asíntota horizontal: es la recta a la cual se acerca el gráfico de f cuando x   
En general el gráfico se acercará a la recta y 

a
(se puede comprobar a través de una tabla de valores)
c

Observando los coeficientes de nuestra función la asíntotahorizontal (AH) es la recta y  2

Alicia Fraquelli - Andrea Gache

~ Trabajo Práctico VI

~

3

Signo: Se estudian los signos del numerador y denominador por separado y luego se aplica la regla de los signos en este ejemplo obtenemos:

Gráfica de f ( x ) 

2x  4
x2

Observa con atención la gráfica obtenida y relee el siguiente comentario
 Conforme los valores están máspróximos a 2, valor para el cual la función no
está definida, el valor absoluto de la función es cada vez mayor. Se dice
entonces que f tiende a infinito cuando x se acerca a 2.
Luego x  2 asíntota vertical
 A medida que x crece en valor absoluto los valores que toma la función se
acercan cada vez más a 2. Luego y  2 asíntota horizontal
 La hipérbola tiene dos ramas simétricas respecto...