Pyyty

Derivadas Parciales

Derivadas Parciales de Primer Orden

• Derivadas Parciales en Funciones de 2 variables

Definición:

Sea [pic]una función de dos variables independientes [pic] e [pic]. La derivada parcial de [pic] con respecto a [pic] es aquella función representada por [pic] tal que su valor en cualquier punto [pic] en el dominio de [pic] esta dado por:

[pic] si el lim[pic]





La derivada parcial de [pic] con respecto a [pic] es aquella función representada por [pic] tal que su valor en cualquier punto [pic] en el dominio de [pic] esta dado por:

[pic] si el lim [pic]

Estas definiciones indican que para hallar [pic] y se deriva respecto a [pic]
De manera similar, para hallar [pic] y se deriva respecto a [pic]

Notación: Dada [pic], lasderivadas parciales [pic] y [pic] se denotan

[pic]
Las primeras derivadas parciales evaluadas en el punto [pic] se denotan

[pic] y [pic]


Ejemplo 1
Determinar, por definición, las derivadas [pic], [pic] donde [pic]

Solución:

[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

Ejemplo 2

Encuentre las derivadas parciales [pic] y [pic] correspondientes a la función[pic]

Solución
[pic]
[pic]


• Derivadas parciales en un punto

Si [pic] es un punto que [pic] entonces

[pic] si [pic] lim

[pic] si [pic] lim


• Importante

Las derivadas parciales de una función de dos variables [pic] tienen una útil interpretación geométrica.
Si [pic] entonces [pic] representa la curva formada por la intersección de la superficie con elplano [pic] . Por lo tanto,

[pic] representa la pendiente de esta curva en el punto[pic] . Tanto la curva como la recta tangente se encuentran en el plano [pic]

De manera similar,
Si [pic] entonces [pic] representa la curva formada por la intersección de la superficie con el plano [pic] . Por lo tanto,

[pic] representa la pendiente de esta curva en el punto[pic] . Tanto la curvacomo la recta tangente se encuentran en el plano [pic]

De manera informal, los valores de [pic] y [pic] en el punto [pic]representan las pendientes de la cura en las direcciones de [pic] y de [pic] respectivamente

Ejemplo
Hallar la pendiente de la curva intersección [pic] en el punto [pic] con el plano : i) [pic] ii) [pic]

Solución
i) [pic] ii) [pic]



Recordar[pic]




[pic] [pic] [pic]

[pic] [pic] [pic]
[pic]
[pic] [pic]

[pic] es la diferencia de las ordenadas del punto [pic] menos la ordenada del punto [pic].
[pic]

[pic]

Incremento Parcial de una Función

En la definición de la derivada parcial de [pic] con respecto a [pic] [pic] al numerador delcociente [pic] lo llamamos el incremento parcial de la función con respecto a [pic] y lo denotamos con [pic]
[pic] Si [pic] lim.
En la definición [pic] al numerador del cociente [pic] lo llamamos en incremento parcial de la función con respecto a [pic], y lo denotamos con [pic]
[pic] Si [pic] lim.
La derivada parcial se la puede considerar como derivada ordinaria de una sola variable.Incremento Parcial

[pic]

Constante

[pic] se puede considerar [pic] como la derivada de una sola variable.

[pic]
[pic]
[pic]
[pic] es como si fuera una función de una sola variable [pic].
[pic]


Observación

La derivada parcial de [pic] es la derivada ordinaria de [pic] si a [pic] se la considera como función de una sola variable [pic]. ([pic]permanece constante)
La [pic] es la derivada ordinaria de [pic] si a [pic] la consideramos como función de una sola variable [pic]. ([pic] queda constante)

Ej.: [pic] [pic]
[pic]
[pic]

Ej.: [pic]
[pic]

Ej.: [pic]
[pic]













Interpretación de las Derivadas Parciales en términos de razón de cambio



[pic] [pic]

[pic]...