Péndulo simple con ecuaciones diferenciales y aplicaciones

CBI
Trimestre: 11 – I

Ecuaciones Diferenciales

Grupo: CTG – 82

Trabajo Final:
“Péndulo simple con ecuaciones diferenciales y aplicaciones”

Alumna:

Prof. Salazar Velasco Francisco Ramón

Fecha de entrega: 28 de Marzo del 2011

Resumen
Este trabajo trata sobre la aplicación de las ecuaciones diferenciales en fenómenos y procesos que se llevan a cabo en la vida cotidiana, paralos cuales, es indispensable que sean planteados desde este punto de vista matemático para una mejor comprensión.

En este trabajo se muestran los pasos a seguir en el modelo del péndulo simple, es decir plantear una situación desde un modelo matemático hasta llegar a su solución, y en base al resultado obtener una conclusión que pueda ser interpretada por la ingeniería y poder aplicarla en unproceso. Finalmente, es necesario saber cómo plantear, resolver e interpretar las ecuaciones diferenciales, en especial las de segundo orden, ya que son las más utilizadas en este trabajo.

Introducción
El péndulo simple o matemático es un sistema idealizado constituido por una partícula de masa m que está suspendida de un punto fijo O mediante un hilo inextensible y sin peso. Naturalmente esimposible la realización práctica de un péndulo simple, pero si es accesible a la teoría.

El péndulo simple también se define como un sistema mecánico que se mueve en un movimiento oscilatorio.

Fig. 1: Péndulo simple.

El principio del péndulo fue descubierto por el astrónomo y físico italiano Galileo, quien estableció que el periodo de oscilación de un péndulo de una longitud dada puedeconsiderarse independiente de su amplitud, es decir, de la distancia máxima que se aleja el péndulo de la posición de equilibrio. Galileo indicó las posibles aplicaciones de este fenómeno, llamado isocronismo, en la medida del tiempo. Sin embargo, como el movimiento del péndulo depende de la gravedad, su periodo varía con la localización geográfica, puesto que la gravedad es más o menos intensasegún la latitud y la altitud. Por ejemplo, el periodo de un péndulo dado será mayor en una montaña que a nivel del mar. Por eso, un péndulo permite determinar con precisión la aceleración local de la gravedad.

El péndulo realiza un movimiento oscilatorio, esto es de un extremo al otro y regresa, pasando dos veces por el punto de equilibrio. El período de un movimiento oscilatorio es el mínimointervalo de tiempo que separa dos instantes en los que el sistema se encuentra exactamente en el mismo estado (mismas posiciones, velocidades y amplitudes). Así, el periodo de oscilación de una onda es el tiempo empleado por la misma en completar una longitud de onda.

Los péndulos se emplean en varios mecanismos, como por ejemplo en algunos relojes. Otras aplicaciones de este dispositivo son elmetrónomo y la plomada. Otra aplicación se conoce como: Péndulo de Foucault, el cual se emplea para evidenciar la rotación de la Tierra; se llama así en honor al físico francés Léon Foucault y está formado por una gran masa suspendida de un cable muy largo.

Por otro lado tenemos las ecuaciones diferenciales, que son ecuaciones en las que intervienen derivadas de una o más funciones.Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva.
Las ecuaciones diferenciales tienen una importancia fundamental en las matemáticas para la ingeniería debido a que muchos problemas se representan a través de leyes y relaciones físico-matemático por este tipo de ecuaciones.

Desarrollo
En el péndulo más sencillo, el llamado péndulo simple, puede considerarse que toda lamasa del dispositivo está concentrada en un punto del objeto oscilante, y dicho punto sólo se mueve en un plano.

Fig. 2: Funcionamiento de un péndulo simple.

Sabiendo que un péndulo de masa m y longitud l se desvía respecto a un ángulo θ0 de su posición de equilibrio, aplicamos el principio de de conservación de la energía para calcular la velocidad de la partícula cuando el péndulo se...