Qf2l01

Contenido

Cap´ıtulo 1. Los postulados de la Mec´
anica Cu´
antica
Un postulado es un enunciado que se propone como cierto sin necesidad inicial de prueba y que se
utiliza como punto de partida para la construcci´
on l´
ogica de una teor´ıa. La validez de la teor´ıa se
examina a posteriori, comprobando que se pronostica correctamente el resultado de experimentos
controlados.
Debe recordarse queno se puede demostrar que una teor´ıa cient´ıfica sea cierta, sino s´
olo que
es falsa. Por lo tanto, la validez de una teor´ıa siempre es provisional, y siempre debemos estar
prevenidos para que un nuevo ´
ambito, un nuevo tipo de fen´
omenos, muestre las limitaciones y los
errores del formalismo.
La Mec´
anica Cu´
antica, en su versi´
on completa de Electrodin´
amica Cu´
antica (QED), es lateor´ıa
cient´ıfica m´
as precisa que se ha construido nunca, y ha sido sometida a una enorme y muy sofisticada
colecci´
on de verificaciones experimentales. Su uso es imprescindible para entender el funcionamiento
microsc´
opico de la materia.
Vamos a ver una colecci´
on de postulados que no pretende ser u
´nica ni tampoco m´ınima. Nuestro
objetivo es, simplemente, introducir poco a poco todos losconceptos b´
asicos.

c V. Lua˜
na 2003-2006

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L01: Postulados de la Mec´
anica Cu´
antica

La funci´
on de onda

Postulado 1: Todas las propiedades observables de un sistema f´ısico est´
an contenidas en su funci´
on
de onda, Ψ(q, t), dependiente de las coordenadas de posici´
on (q) de las part´ıculas que componen el
sistema, y del tiempo (t). Esta funci´
on debe ser univaluada, cont´ınua, conderivadas cont´ınuas, y
de cuadrado integrable.
Ψ(q, t) es, en general, una funci´
on compleja, de modo que su cuadrado complejo es: |Ψ|2 = Ψ∗ Ψ.
|Ψ(q, t)|2 se interpreta como una densidad de probabilidad, de modo que Ψ∗ (q, t)Ψ(q, t)dq
representa la probabilidad de que el sistema se encuentre en un entorno diferencial de q, esto es,
entre q y q + dq en el instante t.
La condici´
on de cuadradointegrable requiere que la integral Rn Ψ∗ (q, t)Ψ(q, t)dq, que se extiende
a todo el espacio, exista y d´
e lugar a un valor finito. Esto permite normalizar la funci´
on de onda de
modo que la probabilidad de que el sistema exista sea la unidad, es decir, el suceso seguro:
Ψ∗ Ψdq = b

Si

definimos cΨ de modo que

Rn
∗

∗

∗

Ψ Ψdq = |c| b = 1

(cΨ) (cΨ)dq = c c
Rn

2

⇒

√
c = 1/ b.

Rn

La funci´on de onda tiene las dimensiones apropiadas para que |Ψ|2 dq sea adimensional.

c V. Lua˜
na 2003-2006

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L01: Postulados de la Mec´
anica Cu´
antica

Principio de superposici´
on

Postulado 2 (principio de superposici´
on): Sean dos funciones de onda cualesquiera, Ψ1 (q, t) y
Ψ2 (q, t), que representan sendos estados de un mismo sistema, y sean dos n´
umeros complejos
arbitrarios c1 y c2 . Lacombinaci´
on lineal Ψ = c1 Ψ1 + c2 Ψ2 es la funci´
on de onda de un estado
v´
alido del sistema, y este estado se dice que es una superposici´
on de los representados por Ψ1 y Ψ2 .
Obs´
ervese que Ψ∗ = c∗1 Ψ∗1 + c∗2 Ψ∗2 . Por lo tanto,
|Ψ|2 = |c1 |2 |Ψ1 |2 + |c2 |2 |Ψ2 |2 + c∗1 c2 Ψ∗1 Ψ2 + c∗2 c1 Ψ∗2 Ψ1 ,

(1)

y la probabilidad del estado superpuesto no es una simple suma de las probabilidadesde los
estados que se superponen. De otro modo, las funciones de onda se suman pero la informaci´
on
est´
a contenida en su cuadrado. Esta regla permite explicar los fen´
omenos ondulatorios, tales como
la difracci´
on de electrones o neutrones.
Generalizaci´
on del principio de superposici´
on: una combinaci´
on lineal arbitraria de funciones de
onda de un sistema es tambi´
en la funci´
on deonda de un estado del mismo. Por lo tanto, el conjunto
de funciones de onda de un sistema tiene la estructura de un espacio vectorial. El producto escalar
de funciones viene dado por la integral de solapamiento (tambi´
en recubrimiento u overlap):
Sij =

Rn

Ψ∗i (q, t)Ψj (q, t)dq.

(2)

Dos funciones se dicen ortogonales si su solapamiento es nulo.
c V. Lua˜
na 2003-2006

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