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Universidad de Zaragoza
Grado en Ingeniería Eléctrica

Fundamentos de Electrotecnia

Tema 3. Régimen permanente con
excitación sinusoidal

Febrero 2013

Índice
1. Ondas sinusoidales. Representación fasorial
2. Respuesta permanente de un circuito lineal y estable
con excitación sinusoidal
3. Comportamiento de resistencias, bobinas y
condensadores en régimen permanente sinusoidal4. Impedancia y admitancia complejas
5. Función de transferencia compleja
6. Leyes de Kirchhoff y Ley de Ohm en el dominio de la
frecuencia
7. Planteamiento genérico del análisis de circuitos en el
campo complejo

Índice
8. El condensador en régimen permanente sinusoidal:
circuito RC
9. La bobina en régimen permanente sinusoidal: circuito RL
10. Concepto de resonancia
11. El circuitoRLC serie en régimen permanente sinusoidal
12. El circuito RLC paralelo en régimen permanente
sinusoidal
13. Principio de superposición en régimen permanente
sinusoidal
14. Acoplamiento magnético entre bobinas. Regla de los
puntos
15. Reflejo de impedancias en un transformador ideal

1. Ondas sinusoidales. Representación fasorial

x(t)=k sin(ωt+θ)

Es periódica: se repite íntegramentecada T segundos.

Unidades: [k] = [x(t)]
Si la onda es:
T

De corriente: [k]=A
De tensión: [k]=V
T

Amplitud

k
t

1. Ondas sinusoidales. Representación fasorial
Unidades:

x(t)=k sin(ωt+θ)

[T] = [tiempo] = segundo (s)

Periodo: T
Frecuencia: f =

ω =2π f =

Frecuencia angular
Pulsación
T

1
T

2π

[f] =

[ω] =

T

1
[t]

= Hercio (Hz)

[ángulo][t]

= rad/s

T

Amplitud
k
t

1. Ondas sinusoidales. Representación fasorial

x(t)=k sin(ωt+θ)
Unidades:
Ángulo de fase inicial
Frecuencia angular
Pulsación

[θ] = [ángulo] = radian (rad)

x(t) está RETRASADA θ/ω segundos respecto de x’(t)
x’(t) está ADELANTADA θ/ω segundos respecto de x(t)

Amplitud

Origen de fase

t

x’(t)=k’ sin(ωt)

θ/ω

1. Ondassinusoidales. Representación fasorial

x(t)=k sin(ωt+θ)

[ωt] =[ω] [t] =
.

[ángulo]

.

[t]

[t] = [ángulo] = rad (o grado)

Ángulo de fase inicial
Frecuencia angular
Pulsación

x(t) está RETRASADA θ/ω segundos respecto de x’(t)
θ radianes
θ segundos
x’(t) está ADELANTADA θ/ω radianes respecto de x(t)

Amplitud

Origen de fase

ωt

x’(t)=k’ sin(ωt)

θ

0

π/2

π

3π/22π

1. Ondas sinusoidales. Representación fasorial
Para toda función periódica de periodo T: f(t+T)= f(t)
Valor medio:
Valor eficaz:

Si x(t) = A sinωt

1 T
f med =
f ( t )dt
T 0

∫

⎡1
f ef = ⎢
⎣T

∫

T

0

x med = 0

1
⎤2

f 2 ( t )dt ⎥
⎦

A
x ef = x rms =
≈ 0,7A
2

Las ondas sinusoidales cumplen las siguientes propiedades matemáticas:
-Al sumar orestar varias ondas sinusoidales de la misma frecuencia se
obtiene otra onda sinusoidal de la misma frecuencia.
- Al derivar o integrar cualquier número de veces una onda sinusoidal se
obtiene otra onda sinusoidal de la misma frecuencia.

1. Ondas sinusoidales. Representación fasorial
A partir de la identidad de Ëuler:

e

± jθ

= cos θ ± jsinθ

⎧cos θ = Re (e ± jθ )
⎪
donde ⎨
± jθ⎪sinθ = Im (e )
⎩

Steinmetz observó que:

Ve (

j ω t +θ )

= V ⎡ cos (ω t + θ ) + j sin (ω t + θ ) ⎤ = V cos (ω t + θ ) + jV sin (ω t + θ )
⎣
⎦

cuya parte imaginaria es:

(

)

Im Ve j(ω t +θ ) = V sin (ω t + θ )
o sea, una onda sinusoidal:

(

v(t) = V sen (ω t + θ ) = Im Ve j(ω t +θ )

)

1. Ondas sinusoidales. Representación fasorial

(

v(t) = V sen (ω t +θ ) = Im Ve j(ω t +θ )

)

Ve j(ω t +θ ) = Ve jω t e jθ = ( Ve jθ ) e jω t = Ve jω t

V = V ejθ

FASOR

No depende del tiempo
Eje imaginario

Argumento θ
(ángulo de fase inicial)
Módulo V
(amplitud)

Vejωt
V
θ
Eje real

v(t) = V sen (ω t + θ ) = Im ( Ve jω t ) = Im ( Ve jθ e jω t )

1. Ondas sinusoidales. Representación fasorial

(

v(t) = V sen (ω t + θ ) = Im Ve...