Química





Carrera: Ing. Química

Materia: Algebra I

Alumno: Uriel Reyes Morales

Profesor: Sandra Rendón

Parcial: 1° Parcial

Fecha: 12/02/14




A.C.
dc
donde cs es un valor constante y conocido. En los métodos numéricos arriba mencionados, se requiere satisfacer las ecs. (1)-(3) en un número finito (n) de nodos computacionales (i = 1,…,n), es decir dc
= 0 (4)
dx i=1d2c
2 = f ( )xi , ∀ =i 2,...,n−1 (5) dx i
c x( n ) = cs (6)
En el método de diferencias finitas, el lado izquierdo de la Ec. (5) se expresa, a partir de expansiones en series de Taylor, como sigue
d2c = ci+1 −2ci + ci−1 +O⎡(Δx)2⎤ (7) dx2 i (Δx)2 ⎣ ⎦
donde se ha preferido la nomenclatura simplificada ci = c(xi). De la misma forma, el lado izquierdo de la
Ec. (4) puede c1
= +O(Δx) (8)dx i=1 Δx
Si bien las ecs. (7) y (8) son una representación exacta de la segunda y primera derivada de c con respecto a x, respectivamente; para poder trabajar con ellas es necesario despreciar los términos de orden O[(Δx)2] y O(Δx). De esta forma, sustituyendo las ecs. (7) y (8) en las ecs. (4) y (5) y rearreglando las ecuaciones resultantes se obtiene el siguiente sistema de ecuacionesalgebraicas
− +c1 c2 = 0 (9)
ci−1 − 2ci +ci+1 = Δ( x)2 fi ,∀ =i 2,...,n−1 (10) cn = cs (11)
El cual puede resolverse usando métodos clásicos de inversión de matrices. Sin embargo, este tipo de métodos de aproximación no pueden fácilmente detener la propagación de los errores de aproximación, lo que reduce la exactitud de las soluciones numéricas. Además, si las condiciones de frontera no sondel tipo Dirichlet, se suelen involucrar aproximaciones con un orden de error mayor que el usado en la ecuación diferencial, como se mostró arriba. Esto puede traer como consecuencia inestabilidades en las soluciones; para compensar este efecto, se suelen usar mallas computacionales refinadas o de tamaño variable. Lo cual puede resultar más costoso en términos de tiempo de cómputo y no siempregarantiza la convergencia del método.
En este trabajo se lleva a cabo la solución de problemas de valor a la frontera comúnmente encontrados en ingeniería de las reacciones químicas en términos de funciones de Green. La idea fundamental de esta metodología consiste en invertir (analíticamente) un operador diferencial autoadjunto que permite expresar la solución como una ecuación integral donde lascondiciones de frontera (ya sean de Dirichlet, Neumann o Cauchy) se incorporan de manera exacta. En la Sección 2 se expone detalladamente esta metodología.
Como lo ejemplifican Mishra y col. (1991), las aplicaciones de las funciones de Green pueden ir desde la ingeniería química hasta la dinámica cuántica. En ingeniería química, el uso de las funciones de Green puede remontarse al trabajo deAmundson y Schilson (1961), quienes estudiaron el transporte difusivo de masa en una esfera considerando una reacción de primer orden. Más tarde Denn y Aris (1965a, b y c) resolvieron sistemas de optimización a partir de funciones de Green, mostrando que esta metodología lleva a esquemas iterativos que reducen el trabajo computacional. Kesten (1969) aplicó esta metodología para predecir perfiles deconcentración para la descomposición de amoniaco en una partícula catalítica esférica. Por su parte, Dixit y Tavlarides (1982) fueron los primeros en usar esquemas de iteración Newtoniana para resolver las ecuaciones no-lineales resultantes del problema de difusión y reacción en una esfera y en un cilindro infinito. Posteriormente Mukkavilli y col. (1987a y b) estudiaron la transferencia de masabidimensional con reacción de primer orden en un cilindro imponiendo condiciones de frontera tipo Dirichlet y Cauchy. Resolvieron los problemas de valor a la frontera para calcular la función de Green mediante expansiones de funciones propias y propusieren una función de Green modificada para acelerar la convergencia de la serie en dos órdenes de magnitud. Adicionalmente, Mishra y col. (1994),...