Qu Es Una Estructura Algebraica

¿Qué es una estructura algebraica? Monoides
Nivel: Básico (Prepa+)
Requisitos: Uso del lenguaje algebraico

Introducción
Una estructura algebraica es un conjunto X dotado de una ovariasoperaciones (funciones f : X × X → X ) que satisfacen ciertas propiedades. En esta lección analizaremos ejemplos de monoides conmutativos, la cual es una de las estructuras algebraicas más básicas.

Desarrollo
Hayciertos conjuntos de números con los cuales trabajamos desde siempre, comenzando por los números naturales N={0,1,2,3,4, . . .}cuyo uso primordial es enumerar, contar objetos (costales, amigos, pesosmexicanos, horas...)
¿Cuáles son las operaciones básicas que se pueden efectuar en N? Una primera respuesta nos remite a las cuatro operaciones aritmeticas básicas de la primaria: adición, resta,multiplicación y división. Aqui estaremos interesados en las propiedades de la primera operación; ¡analicémoslas!

La adición (símbolo: +) en N es una operación que satisface (si no lo recuerdas,verifícalo):
1. Asociatividad: (a+b)+c=a+(b+c)
2. Conmutatividad: a+b=b+a
3. Elemento neutro: el 0 cumple que a+0=a
Con estas propiedades, la pareja (N, +) que consta del conjunto de los números naturales conla operación adición, es un ejemplo demonoide conmutativo, vaya nombre para algo tan sencillo, ¿no crées?

Definición [Monoide]: Un conjunto M con una operación * : M × M→ M (denotada como a*b) quees asociativa y tiene elemento neutro. Si además la operacion es conmutativa, se le conoce entonces como un monoide conmutativo.

Ejemplo (Geometría)
¿Podremos dar otro ejemplo de monoide? Consideremosel cuadradoABCD:
Figura 1

Nuestro conjunto M consistirá de las cuatro rotaciones ilustradas a continuación:
Figura 2.

Esto es, M={a,b,c,d} (¡no {A,B,C,D}, que son los vértices de nuestrocuadrado!). Ahora necesitamos dotar a M de una operacion, es decir, asociarle de manera única una rotación a cada pareja de elementos enM. La operación será la composición de rotaciones (es decir, aplicar...