Que Es Calculo Diferencial V

Qué es cálculo diferencial

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V. G. Boltianski

Preparado por Patricio Barros

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V. G. Boltianski

Prólogo
A los alumnos que cursan los últimos años de la enseñanza inedia, sobro todo a los
que se interesan por las matemáticas, la física o la técnica, se los plantea con
frecuencia la pregunta: ¿Qué son lasmatemáticas «superiores»? A veces cuestiones
de este tipo se analizan en las reuniones de los círculos matemáticos de las
escuelas.
El propósito del autor es explicar (de forma comprensible para dichos alumnos)
ciertos conceptos de las matemáticas superiores1, como son los de derivada,
ecuación diferencial, número e, logaritmo natural (lo corriente es que los alumnos
se enteren de la existencia de estosdos últimos conceptos y se interesen por ellos).
He procurado que las explicaciones de estos conceptos sean lo más claras posibles,
basándome para ello en la resolución de problemas tomados de la física. Al proceder
así, además del deseo de lograr la claridad antedicha, me ha guiado el de mostrar
que los conceptos de las matemáticas «superiores» son el reflejo matemático de las
propiedades deprocesos reales quo ocurren en la naturaleza y demostrar una vez
más que las matemáticas están ligadas a la vida, y no al margen de ella, que se
desarrollan, y no son una ciencia acabada o invariable.
No todas las demostraciones y razonamientos contenidos en el libro se hacen con
absoluta rigurosidad matemática. Algunos de estos razonamientos tienen carácter
de aclaraciones. Este método de exposiciónno ha parecido el más a propósito para
un libro popular.
Esta obrita puede utilizarse en el trabajo de los círculos matemáticos y físicos de las
escuelas e institutos de segunda enseñanza: para su comprensión bastan los
conocimientos que se adquieren en los primeros nueve cursos de las escuelas de
enseñanza media. Parte del material que figura en ella procede de un cursillo de
conferencias que dioel autor a petición de los dirigentes de los círculos matemáticos
escolares adjuntos a la Universidad de Moscú.

1
Algunos conceptos de las matemáticas superiores puede conocerlos el lector por otros libros de esta misma serie:
A. I. Markushévích, «Superficies y logaritmos»; I. P. Natansón, «Suma de magnitudes infinitesimales». Estos libros
serán publicados en español por la Editorial MIR durantelos próximos años.

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Aprovecho la ocasión para expresar mi sincero agradecimiento a A. I. Markushévích
y A. Z. Rívkin por sus valiosos consejos y sus observaciones al texto original.

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V. G. BoltianskiCapítulo 1
El problema de la caída de un cuerpo
Contenido:
•

Planteamiento del problema

•

Solución cualitativa del problema

•

Fórmula de la velocidad de caída de un cuerpo.

•

Número e

Planteamiento del problema
El primer problema que vamos a considerar consiste en determinar la velocidad de
un cuerpo que cae desde cierta altura sobre la tierra.
Por el curso de física elemental sabemos quetodo cuerpo que cae en el vacío
verticalmente hacia abajo tiene al cabo de t segundos de empezar a caer la
velocidad

[1]
donde v0 es la velocidad inicial de caída, y g es la aceleración de la gravedad.
Cuando el cuerpo cae en el aire (y no en el vacío) la fórmula [1] sigue siendo en
ciertos casos aproximadamente válida; pero en otros puede conducir a errores
graves. Por ejemplo, si el cuerpo caedesde una altura pequeña, la fórmula [1] es
aplicable. Sin embargo, cuando el cuerpo cae desde una altura muy grande, la
magnitud de la velocidad puede diferir considerablemente de la expresión [1]. En
1945 el paracaidista V. G. Romaniuk efectuó un salto con retraso de la apertura del
paracaídas en el que voló más de 12 000 metros en caída libre. Un cuerpo que
cayese en el vacío desde una...