Que Es El Lugar Geométrico De Las Raíces

Informe de lugar
geométrico de las
raíces
Marcos Esparza C
Sistemas de control I
Ingeniera en automatización y control

Introducción
La estabilidad y el funcionamiento transitorio de un sistema de control son
directamente relacionados con la ubicación en plano S

de las raíces de las

ecuaciones características o polos del lazo cerrado. Si los parámetros del sistema
varían, las raíces de laecuación característica también sufrirán la variación en el
plano. La grafica del desplazamiento de las raíces en plano s cuando cierto
parámetro varía se denomina lugar geométrico de las raíces.
En método del lugar geométricos de las raíces permite determinar la posición de
los polos de la función de transferencia a lazo cerrado para un determinado valor
de ganancia K a partir de la función detransferencia de lazo cerrado.
W.R Evans diseño un método sencillo para encontrar las raíces de la ecuaciones
características que se usa ampliamente en los que son los sistemas de control
automático. EL lugar geométrico de las raíces permite conocer información acerca
de las características del funcionamiento del sistema en lazo cerrado. En diseño
de sistemas este método permite seleccionar elcontrolador adecuado y ajustar
uno o más parámetros dependiendo de exclusivamente de la ecuación
características del sistema y con la finalidad de cumplir con las especificaciones
de funcionamiento requeridas.

Que es el lugar geométrico de las raíces
Es un método grafico para dibujar el lugar geométrico de las raíces sobre el plano
S, nos sirve para poder comprender donde quedan ubicadas las raíces enel
plano S antes cambio o variación de parámetros , es decir, puede representar
una herramienta muy útil para el análisis y diseño ya que al cambiar algún
parámetro

físico

al sistema

también logra la modificación

de la ecuación

características ,lo que significa que se modifican los polos o raíces de mencionado
sistema de forma que se puede obtener una respuesta deseada. Básicamente lo
querealizamos en lugar geométrico de las raíces es determinar la posición de los
polos de la función de transferencia a lazo cerrado para un determinado valor de
ganancia (K) y esta varía desde cero hasta infinito. Cabe de mencionar que le
método fue desarrollado por W.R Evans en el año 1948.
-

Cabe de mencionar que los polos son las raíces del denominador y los
ceros son las raíces del numerador.

-

Loque llamamos ganancia (K) es el factor de corrección de nuestro
proceso y nos sirve para atenuar las perturbaciones de nuestro sistema.

-

Paso para determinar un lugar geométrico de las raíces
Cuando tenemos un sistema de control es muy importante conocer la ubicación
de las raíces

de la ecuación características

del sistema de lazo cerrado. El

método de construcción para el lugar geométricode las raíces de la ecuación
característica a lazo cerrado cuando varia un parámetro se fundamenta en un
esquema de control de retroalimentación simple como en la muestra en Fig 1.1
donde se vemos la función de transferencia y la ecuación característica del
sistema, cuyas soluciones representan los polos del lazo cerrado.

1+KG(s)II(s) = 0
-

(1.1)

LGR se realiza una variación de la ganancia Kdesde cero hasta infinito
para las cuales mencionada raíces deben de satisfacer la Ec. 1.1 como S
es una variable compleja, lo podemos rescribir en forma de polar.

K
s
Ahora podemos identificar dos condiciones que se deben de cumplir para poder
satisfacer la ecuación anterior. Las cuales son las condiciones del módulo y la
condición del ángulo que se representamos a continuación.

Donde K = 0±
-1, ± 2………..

Si nuestra función de transferencia a lazo abierto se factoriza en polos y
ceros tal como de muestra en la Ec.1.5 las condiciones del módulo y ángulo
las podemos reescribirse de la siguiente manera.

Las dos condiciones se deben de cumplir para cada una de las raíces que forme
parte del lugar geométrico de forma tal que se garantice que cada una de ella sea
Solución de la ecuación...