que es la ciencia

Instituto tecnológico de Tuxtepec

Nombre del alumno: Edwin Alexci García sabino

Materia: cálculo diferencial

Trabajo: investigación unidad 5

Grupo: “E”

Profesor: Arturo Hernández

Semestre: 1ero

Carrera: ing. Civil




Unidad 5 Aplicaciones de las derivadas
5.1 recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales.
Pendiente de la rectatangente
La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto.








Recta tangente a una curva en un punto
La recta tangente a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a).

Ejemplo 
Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2 − 5x + 6 paralela a la recta 3x + y − 2 =0.

y = −3x + 2
La pendiente de la recta es el coeficiente de la x. m = −3
Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.
f'(a) = 2a − 5
2a − 5 = −3a = 1
P(1, 2)
y − 2 = −3 (x − 1)y = −3x + 5
Pendiente de la recta tangente
La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.Es decir, es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.









Ecuación de la recta normal
La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f'(a).

Ejemplo 
Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola y = x2 + x + 1 paralela a la bisectriz delprimer cuadrante.
La bisectriz del primer cuadrante tiene ecuación y = x, por tanto m = 1.
f'(a) = 2a + 1 = 1 a = 0
Punto de tangencia:(0, 1)
Recta tangente:
y − 1 = x y = x +1
Recta normal:
m= 1P(0, 1)
y − 1 = −x y = −x + 1









5.2 teorema de rolle, teorema de LaGrange o teorema del valor medio del cálculo diferencial.
Teorema de rolle
Si una función es:
Continua en [a,b]
Derivable en (a, b)
Y si f(a) = f(b)
Entonces, existe algún punto c  (a, b) en el que f'(c) = 0.
La interpretación gráfica del teorema de Rolle nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas.





Ejemplos
1. Estudiar si se verifica el teorema de Rolle en el intervalo [0, 3] de la función:

En primer lugar comprobamos que la función es continua en x= 1.


En segundo lugar comprobamos si la función es derivable en x = 1.


Como las derivadas laterales no coinciden, la función no es derivable en el intervalo (0, 3) y por tanto no se cumple el teorema de Rolle.

2. ¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = ln (5 − x2) en el intervalo [−2, 2]?
En primer lugar calculamos el dominio de la función.

La función es continua enel intervalo [−2, 2] y derivable en (−2, 2), porque los intervalos están contenidos en.


Además se cumple que f(−2) = f(2), por tanto es aplicable el teorema de Rolle.

Comprobar que la ecuación x7 + 3x + 3 = 0 tiene una única solución real.
La función f(x) = x7 + 3x + 3 es continua y derivable en ·


Teorema de LaGrange o del valor medio
Si una función es:
Continua en [a, b]Derivable en (a, b)
Entonces, existe algún punto c  (a, b) tal que:


La interpretación geométrica del teorema de LaGrange nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante.
El teorema de Rolle es un caso particular del teorema de LaGrange, en el que f(a) = f(b).
Ejemplo
¿Se puede aplicar el teorema de LaGrange a f(x) = x3 en [−1, 2]?
f(x) es continua en [−1, 2] y derivableen (−1, 2) por tanto se puede aplicar el teorema del valor medio:


5.3 función creciente y decreciente. Máximos y mínimos de una función. Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos.
Función creciente y/o decreciente.
Creciente  en xo si para   x > xo     F(x) ≥ F(xo)   ► F ' (xo) ≥ 0
ya que:
 
 
 F(x) - F(xo)
 
 
 F'(xo) = 
 Lim
————————
 ≥ 0
 
 
x → xo
 x - xo...