Que es la matematica?

´ ´ ¿QUE ES LA MATEMATICA?

Introducci´n. En este ensayo se revisan unas cuantas de las explicaciones o m´s populares de “qu´ es la matem´tica” desde la muy personal comprensi´n a e a o del autor. Hay dos cosas que este texto no es: no es el trabajo de un fil´sofo profeo sional, aunque se intenta ser m´s o menos riguroso en la extracci´n de cona o clusiones a partir de los supuestos empleados.Tampoco es una respuesta ıtulo; es imposible explicar en unas cuantas definitiva a la pregunta del t´ p´ginas la segunda profesi´n m´s antigua del mundo. a o a Si acaso este peque˜o ensayo es una invitaci´n a revisar lo que nos han n o dicho en nuestros a˜os de formaci´n y las impresiones que hemos recibido n o en nuestro quehacer con la matem´tica. a Para tratar de atacar nuestra pregunta, primeroaceptamos que la matem´tica se dedica al estudio de ciertos objetos: objetos matem´ticos. A a a continuaci´n revisamos cuatro explicaciones bien conocidas de lo que pueden o ser estos objetos matem´ticos. Analizamos en seguida unas cuantas de las a posibles consecuencias de aceptar, en sucesi´n, cada una de las explicaciones. o Finalmente, en cada uno de estos apartados, revisamos c´mo ser´ lapr´ctica o ıa a de un hipot´tico profesor de matem´ticas —un profesional— que aceptara e a la validez de los supuestos revisados. N´ meros. La matem´tica estudia un cierto tipo de objetos, por ejemplo, u a n´meros: u Un profe de primaria le pidi´ a sus estudiantes que sumaran los n´meros o u del 1 al 100; casi inmediatamente un ni˜o levant´ su manita y dijo “son n o 5050”. ¿C´mo lo hizo? ¿Podr´ oıamos hacerlo nosotros? Veamos. Primero acomod´ imaginariamente los n´meros del 1 al 100 frente a ´l: o u e 1 2 3 ··· 98 99 100

Despu´s los volvi´ a colocar, pero en orden inverso, debajo de la l´ e o ınea de n´meros que ya ten´ enfrente: u ıa 1 2 3 ··· 100 99 98 · · · 98 99 100 3 2 1

Entonces —y esta es la observaci´n importante— se fij´ en lo que suma cada o o columna: 1 + 100 = 101; 2 + 99 =101; 3 + 98 = 101; . . . ; 99 + 2 = 101; 100 + 1 = 101.
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´˜ V´ ICTOR NUNEZ

Siempre es 101. ¿Cu´ntas veces? pues cien, porque tiene cien columnas; a as´ que sumar todos los n´meros —todos— es lo mismo que multiplicar ı u 101 × 100. Y ´sta es una multiplicaci´n f´cil: 101 × 100 = 10100. Ahora 10100 es dos e o a veces la suma de 1 a 100, pues acomodamos dos filas de n´meros del 1 al u 100;entonces, para obtener 1 + 2 + 3 + · · · + 100 debemos dividir 10100 entre dos —cosa que cualquiera puede hacer 1 : 10100/2 = 5050. (Para averiguar m´s sobre la vida de este notabil´ a ısimo ni˜o, se puede ren visar la p´gina web http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk /˜history /Mathea maticians /Gauss.html) Figuras. La matem´tica tambi´n estudia figuras. a e Supongamos que tenemos tres cuadrados enun plano de tal manera que a a con uno de sus lados forman un tri´ngulo rect´ngulo (ver Figura 1).

A1 A2 A3

Figure 1
Por ejemplo, para sumar del 1 al 1000, sabiendo lo que ya sabemos, resulta f´cil, ¿no? 1 + 1000 = 1001; 2 + 999 = 1001, etc.; a entonces multiplicamos: 1001 × 1000 = 1001000 y, para obtener finalmente la suma, 1 + 2 + · · · + 1000 = 1001000/2 = 500500. Para escribir este tipode procedimiento se inventa una cierta notaci´n. o La suma de Gauss: n X n(n + 1) . i= 2 i=1
1Tenemos aqu´ un procedimiento general. ı

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¿Qu´ relaci´n hay entre las areas de estos cuadrados? Claramente A 1 es e o ´ mayor que A2 y que A3 . Bien. Pero ¿qu´ tan mayor es A1 ? O sea, ¿qu´ e e relaci´n hay entre A1 y A2 + A3 ? o

A2 A3 A1

Figure 2 En elcuadradote de la izquierda de la Figura 2, aparecen cuatro tri´ngulos a con las medidas originales y aparecen tambi´n copias de los dos cuadrados e A2 y A3 ; en el cuadradote de la derecha tambi´n aparecen cuatro tri´ngulos e a con las medidas originales y una copia de A1 . Como los cuadradotes son iguales —pues tienen como lado la suma del lado de A2 m´s el lado de a A3 —, debemos concluir que tienen...