Que es la topologia?

Instituto de formación superior
Leonardo da Vinci
Profesorado de matemática
3º año Topología
año 2011

Trabajo práctico nº 1

1- ¿Qué es la topología?

La palabra topología se deriva del griego y significa “lugar”. En matemática se ha venido definiendo como el estudio de lasituación, empleándose también el termino Análisis situs. Siguiendo con el estudio de la topología en matemática podemos decir que se trata de matemática cualitativa; es decir, matemática sin números. a -grosso modo-, que la Topología trata de las propiedades cualitativas intrínsecas de las configuraciones espaciales, que son independientes del tamaño, la situación y la forma. La Topología se interesapor conceptos como proximidad, número de agujeros, el tipo de consistencia (o textura) que presenta un objeto, comparar objetos y clasificar, entre otros múltiples atributos donde destacan conectividad, compacidad, metricidad o metrizabilidad, separación, densidad, etcétera.
La idea de la convergencia es la de "aproximar" un objeto por otro, es decir, sustituir un objeto por otro que estápróximo a él. Evidentemente, al hacerlo así se está cometiendo un error, error que en general dependerá de lo próximo que se encuentre el objeto sustituido del objeto sustituto. Para hacer esta sustitución de una manera sistemática, de forma que el error pueda ser elegido arbitrariamente pequeño, aparecen distintos tipos de conjuntos. Se obtiene así un proceso de sucesivas aproximaciones que, si todo vabien, terminarían llevándonos al objeto, aunque fuese después de un número infinito de aproximaciones. El más sencillo de estos conjuntos es una sucesión, es decir, una colección infinita (numerable) y ordenada de objetos, aunque con el mismo carácter de orden hay otros conjuntos que reflejan mejor el concepto de convergencia.
Es importante observar que la Topología no trabaja con errores nicon aproximaciones. Eso entra en el ámbito del Análisis Numérico e incluso del Análisis Matemático. La Topología lo que hace en este problema es aportar las herramientas básicas y los conceptos teóricos para afrontar correctamente el problema, siempre desde un punto de vista conceptual y cualitativo. Estudia qué es lo que debe entenderse cuando decimos que un conjunto (como puede ser una sucesión)se acerca a un objeto (que puede ser un punto, un conjunto, etcétera).
En cuanto a continuidad podemos decir que una aplicación es continua si transforma puntos que están cerca en puntos que están cerca, es decir, si respeta la "relación de cercanía". Esto además quiere decir que una función continua no "rompe" los que están unidos y no "pega" lo que está separado.

Una propiedadcualitativa intrínseca es aquella que no cambia cuando el objeto que se esta considerando sufre un proceso de dilatación y flexión sin ruptura. La idea de –sin ruptura- es importante en cuanto indica que los puntos que originalmente están próximos entre si en el objeto permanecen cercanos a lo largo del proceso de dilatación. Por lo tanto necesitamos disponer de algún método para determinar cuando dospuntos están próximos en un objeto cuyas propiedades intrínsecas cualitativas queremos definir y estudiar.
Este mismo objeto a estudiar puede ser uno cualquiera; una figura geométrica, una rueda de goma, una colección de funciones, un espacio abstracto. La propiedad común a todos los objetos de estudio topológico es que son conjuntos, donde cada elemento del conjunto es un punto. Así, pues, elestudio de la topología es el estudio de las propiedades cualitativas intrínsecas de los conjuntos de puntos.
Las propiedades a estudiar son distintas a las métricas, como ángulo o distancia, son aquellas propiedades de los objetos invariantes bajo la acción de transformaciones continuas. Una transformación continua sobre un objeto es algo que lo deforma, lo sube, lo baja, lo voltea, lo mueve de...