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5.1 Integrales iteradas
Definición de integral iterada: Se llaman integrales iteradas a la realización sucesiva de por lo menos 2 procesos de integración simple considerando las diferenciales dx y dy.
Se pueden definir las integrales iteradas sobre regiones F limitadas por curvas.
Esta situación es más complicada que la que hemos visto.

Consideremos una región F donde la frontera estáformada por las rectas x = a, x = b, y = p(x), y = q (x) con p(x) < q(x) para a x b. Definimos donde primero integramos (para x fijo) desde la curva inferior hasta la superior, es decir a lo largo de un segmento típico. Luego integramos con respecto a x desde a hasta b. Con mayor generalidad se puede definir las integrales iteradas sobre una región F, integrando primero respecto de ytenemos integrando respecto de x será .
Nota: Es importante tomar en cuenta en qué posición vienen dados los límites de las integrales en cuestión para saber en qué orden serán ejecutados los procesos de integración simple; es decir, reconocer si se va integrar primero considerando la diferencial dx o la diferencial dy o viceversa.

Formas en que pueden presentarse las integrales iteradas:Procedimientos de la integración iterada:
En las primeras dos integrales:

Se mantiene constante la variable diferente a la diferencial y se integra respecto a la diferencial correspondiente ya sea dx o dy; y posteriormente en el resultado de la integración se sustituyen los límites superior e inferior como se realiza en las integrales definidas.
En la tercera y cuarta integrales:

Comolos límites son numéricos es independiente realizar la integración primero respecto de dx y luego de dy, o viceversa, ya que el resultado es el mismo.
En la quinta y sexta integrales:

Se observan en función de que variable se encuentran los límites y se realiza la primera integración considerando la diferencial de la otra variable; seguidamente se sustituyen los límites no numéricos en elresultado de la primera integración. Y este nuevo resultado se integra considerando la diferencial de esta misma variable; y finalmente, se sustituyen los límites numéricos en el resultado de esta segunda integración. Mismo que será el resultado de la integral iterada buscada.
En la quinta: Se integra primero considerando la diferencial dx y después la diferencial dy
En la sexta: Se integraprimero considerando la diferencial dy y después la diferencial dx
Otra manera es: Observando la posición de las dos diferenciales en la integral iterada e integrando primero respecto de la diferencial de la izquierda y segundo respecto de la diferencial de la derecha.

RESOLUCIÓN DE INTEGRALES ITERADAS
EJEMPLO 1: Resolver la siguiente integral iterada:
Solución:

EJEMPLO 2: Resolver lasiguiente integral iterada:
Solución:

EJEMPLO 3: Resolver la siguiente integral iterada:
Solución:

EJEMPLO 4: Resolver la siguiente integral iterada:
Solución:

EJEMPLO 5: Resolver la siguiente integral iterada:
Solución:

EJEMPLO 6: Resolver la siguiente integral iterada:
Solución:

RESOLUCIÓN DE OTROS TIPOS DE INTEGRALES ITERADAS
EJEMPLO 7: Resolver la siguiente integral iterada:Solución:

EJEMPLO 8: Resolver la siguiente integral iterada:
Solución:

5.2 Integral doble.
Definición de integral doble: Sea f, continua en una región R del plano xy . Usando líneas paralelas a los ejes para aproximar R por medio de n rectángulos de área A. Sea (xj,yj) un pto del j-esimo rectángulo, entonces la integral doble de f sobre R es:

( xJ, xj+1)

Interpretación gráfica
Laintegral doble de una función no negativa en dos variables se interpreta como el volumen bajo la superficie z = f(x,y) y sobre la región R del plano xy.

Región R
z = f(x,y)

ÁREA POR DOBLE INTEGRACIÓN
La aplicación más simple de las integrales dobles es para hallar el área de una región del plano xy. Esta área está dada por una cualquiera de las integrales

Los límites de integración...