Que Son Las Asintotas De Una Hiperbola

a) Que son las asintotas de una hiperbola?
Las asíntotas de la hipérbola (A1 y A2) son las dos líneas rectas que se aproximan cada vez más a la hipérbola pero no llegan a intersectarla. Enel infinito las asíntotas estarán a una distancia 0 de ella.
Las ecuaciones de las asíntotas se pueden obtener si se conocen el semieje real (a) y el semieje imaginario (b).


Ejemplo

Seauna hipérbola de semiejes conocidos, siendo el semieje real 2a=4 cm y 2b=8 cm. Las dos asíntotas vienen definidas por las ecuaciones siguientes:



b) Forma canónica de una hipérbola.
Para obtenerla ecuación canónica o ecuación reducida de la hipérbola situemos un sistema de coordenadas cartesianas con centro el punto medio del segmento focal FF y eje de abscisas pasando por losfocos. Entonces la coordenadas de los focos en este sistema de referencia son F (c, 0)  y  F (– c, 0).
            Sea P (x, y) un punto cualquiera del plano. Por definición de hipérbola, laigualdad [1] es una condición necesaria y suficiente para que el punto P (x, y) esté situado sobre la hipérbola. La fórmula de la distancia entre dos puntos nos proporciona las longitudes de losradios vectores del punto P, 


[2]
 De [1] y [2] se sigue la relación 

[3]
 Elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad [3], después de simplificar los términos semejantes se llega auna igualdad con un único radical. Transponiendo este radical y elevando de nuevo al cuadrado los dos miembros de la igualdad obtenida se llega a la igualdad

 Como c > a, entonces c² – a² espositivo y haciendo b² = c² – a² se obtiene la ecuación de la hipérbola con centro el origen de coordenadas y focos en el eje de abscisas:
 

[4]

c) Forma general de la ecuacion de unahiperbola.


Si el centro de la hipérbola es C(x0, y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X0+c, y0) y F'(X0-c, y0). Y la ecuación de la hipérbola será:


d)...