Quedate con ella

Resúmenes de Matemáticas para Bachillerato

I.E.S. “Ramón Giraldo”

LOGARITMOS Y APLICACIONES
1.- LOGARITMOS

(

)

El logaritmo en base a > 0 y ¹ 1 de un número N es el exponente al que hay que elevar la base
para que dé dicho número:
log a N = x Û a x = N
Los logaritmos de base 10 se llaman decimales1 y se representaban por log, y los logaritmos de base
el número e se llamannaturales o neperianos y se representaban por ln o L.
Propiedades elementales:
1) log a a = 1 y log a 1 = 0
2) log a a x = x
Otras propiedades:
3) log a MN = log a M + log a N

( )

æ Mö
4) log a ç ÷ = log a M - log a N siempre que N ¹ 0
èNø
5) log a N m = mlog a N

"m ÎR

Transformación de logaritmos:
log b N
ln N
6) log a N =
o mas generalmente log a N =
ln a
log b a
Otraspropiedades:
1
son opuestos.
a
8) Conocidos los logaritmos en una base mayor que 1 se pueden hallar fácilmente en
cualquier otra base.
7) Los logaritmos de un número en dos bases inversas a y

2. ECUACIONES EXPONENCIALES
Una ecuación es exponencial cuando la incógnita aparece en el exponente.
Vamos a resolver los siguientes tipos de ecuaciones exponenciales:
1) Reducibles a una igualdadde potencias de la misma base
2) Resolubles por cambio de variable
2.1. Reducibles a una igualdad de potencias de la misma base
Para resolverlas, generalmente se descomponen en factores primos las bases, y se realizan las
operaciones necesarias hasta conseguir una igualdad de potencias con la misma base.

1

Actualmente esta notación está en desuso y se utiliza la notación log pararepresentar el logaritmo neperiano.

Cipri

Departamento de Matemáticas

1

Resúmenes de Matemáticas para Bachillerato

I.E.S. “Ramón Giraldo”

Ejemplo 1:
Resolver la ecuación 41- 3x = 2 x - 2

(2 )

2 1- 3x

= 2x- 2

Descomponemos en factores la base 4

2 2(1- 3x ) = 2 x - 2

Potencia de una potencia: se deja la base y se
multiplican los exponentes
Igualamos los exponentes(ya que las potencias
tienen la misma base)
Quitamos paréntesis
Agrupamos: las x a un miembro y los números
al otro
Operamos

2 (1 - 3x ) = x - 2
2 - 6x = x - 2
-6x - x = -2 - 2
-7x = -4
x=

-4 4
=
-7 7

Resolvemos: el coeficiente de x, pasa al otro
miembro diviendo, pero con su signo.

Ejemplo 2:
Resolver la ecuación 3 × 4 3x = 768
4 3x =

768
3

El 3 que estámuliplicando, pasa dividiendo.

4 3x = 256

Efectuamos la división

(2 )

Descomponemos en factores primos las bases.

2 3x

= 28

Potencia de una potencia: se multiplican los
exponentes.
Igualamos los exponentes.

2 6 x = 28
6x = 8
x=

8 4
=
6 3

Resolvemos.

2.2. Resolubles por cambio de variable
Para resolver este tipo de ecuaciones, tenemos que conseguir (factorizandolas bases, aplicando las
propiedades de las potencias…) que todas las exponenciales que aparezcan sean la misma. Dicha
exponencial nos da el cambio de variable que hay que hacer. Al realizar dicho cambio queda una
ecuación de las que ya sabemos resolver (de primer grado, de segundo, bicuadradas...).
Ejemplo 3:
Resolver la ecuación 9 x - 8 × 3 x - 5913 = 0

(3 ) - 8 × 3

x

- 5913 = 0Descomponemos 9 en factores primos.

(3 ) - 8 × 3

x

- 5913 = 0

Intercambiamos los exponentes.

2 x

x 2

y 2 - 8y - 5913 = 0

Hacemos el cambio de variable 3x = y .

ì 8 + 154
= 81
8 ± 8 - 4 ×1× (-5913) ïï 2
y=
=í
2 ×1
ï 8 - 154 = -73
ïî 2

Resolvemos la ecuación cuadrática.

2

Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I

2

Resúmenes de Matemáticaspara Bachillerato
ì81 ® 3x = 34 ® x = 3
3 =í
î-73 ® No tiene solución
x

I.E.S. “Ramón Giraldo”

Deshacemos el cambio de variable y resolvemos
la ecuación original.

3. SISTEMAS DE ECUACIONES EXPONENCIALES
Un sistema de ecuaciones es exponencial cuando al menos una de sus ecuaciones lo es.
Para resolver dichos sistemas utilizaremos las técnicas vistas en el apartado anterior, y los...