Quimica 2

6.1
Derivación Numérica

Las fórmulas de derivación numérica aparecen en el desarrollo de algoritmos para la solución de problemas de contorno en ecuaciones diferenciales ordinarias (y en ecuaciones en derivadas parciales). En general, podemos obtener aproximaciones numéricas de la derivada en un punto derivando alguna función interpolante, por ejemplo un polinomio de Lagrange, algún trazadorcúbico, etc. Sin embargo, en la práctica pequeños errores en los datos pueden producir malos resultados en las derivadas. Aquí vamos a experimentar con fórmulas que se obtienen derivando el polinomio interpolante de Lagrange.
Fórmulas de tres y cinco puntos
Supongamos que son puntos en un intervalo y que . Si es el polinomio interpolador de Lagrange entonces


para alguna . Alderivar esta expresión y evaluar en algún (de los puntos ) obtenemos


Esta fórmula recibe el nombre de fórmula de -puntos para aproximar . Ahora lo que vamos a hacer es, a partir de aquí, obtener fórmulas útiles de tres y cinco puntos.
En lo que sigue vamos a suponer que los son igualmente espaciados, es decir suponemos que

Por ejemplo, si entonces
Fórmulas de tres puntosSupongamos que solo tenemos tres datos igualmente espaciados,es decir, con . Aplicando la fórmula anterior con tres puntos, para respectivamente, obtenemos las tres siguientes fórmulas (llamadas de "tres puntos")



Fórmulas de cinco puntos
De manera análoga, si tenemos cinco datos igualmente espaciados, con , se puede obtener la fórmula de cinco puntos

Fórmula para la segundaderivada
Con las mismas hipótesis, se puede deducir una fórmula de tres puntos para la segunda derivada


EJEMPLO. Consideremos la siguiente tabla de datos


0.00 1.00
0.01 1.010050167
0.02 1.02020134
0.03 1.030454534
0.04 1.040810774
0.05 1.051271096
0.06 1.061836547
0.07 1.072508181
0.08 1.083287068
0.09 1.094174284
Estimar y .SOLUCIÓN. Para estimar se puede usar la fórmula de cinco puntos mientras que para estimar podemos usar una fórmula de tres puntos, para ser exactos, la fórmula apropiada es la fórmula para .


Estimación de con la fórmula de cinco puntos.
Seleccionamos cinco puntos de tal manera que,


0.00 1
0.01 1.010050167
0.02 1.02020134
0.03 1.030454534
0.041.040810774
0.05 1.051271096
0.06 1.061836547
0.07 1.072508181
0.08 1.083287068
0.09 1.094174284
Ahora aplicamos la fórmula, como

como se esperaba ya que


Estimación de con la fórmula de tres puntos para estimar .
Seleccionamos tres puntos de tal manera que,


0.00 1.00
0.01 1.010050167
0.02 1.02020134
0.03 1.030454534
0.04 1.0408107740.05 1.051271096
0.06 1.061836547
0.07 1.072508181
0.08 1.083287068
0.09 1.094174284
Ahora aplicamos la fórmula, como

como se esperaba. Observe que la precisión no es tan buena como la obtenida con la fórmula de cinco puntos.

EJERCICIOS
1. Considere la tabla


1.1 1.042236692
1.2 1.082222055
1.3 1.120140413
1.4 1.1561563961.5 1.190417757
1.6 1.223057566
1.7 1.254195979
1.8 1.283941742
i.) En Excel, estimar , y y comparar con el valor real.
ii.) En Excel, estimar , y y comparar con el valor real.
2. Implementar una hoja en Excel, con o sin macros, para que poder calcular la aproximación de cada una de las derivadas usando las cinco fórmulas vistas enla teoría
6.2 Integración numérica
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