quimica

EJERCICIOS PROPUESTOS: TRANSFORMACIONES
LINEALES
1. Determine cu´les de las siguientes funciones son transformaciones lina
eales. Para aquellas funciones que lo sean, encuentre su n´cleo, imagen,u
nulidad, rango y verifique que la nulidad m´s el rango es igual a la dia
mensi´n del dominio.
o
a ) T1 : R3 → R4 dada por T1 (x, y, z ) = (x, y + z + 1, 0, 0)
b ) T2 : R4 → R2 dada por T2 (x,y, z, w) = (x, y + z + w)
c ) T3 : R3 → R2 dada por T3 (x, y, z ) = (0, 2x − 4z )
d ) T4 : R2 → R4 dada por T4 (x, y ) = (0, x + 5y, x, 0)
e ) T5 : P2 → P1 dada por T5 (a + bx + cx2 ) = a − c + bxf ) T6 : M2x2 → R2 dada por T6

ab
cd

g ) T7 : M2x2 → M2x2 dada por T7

= (b − d, a)

ab
cd

=

h ) T8 : R3 → M2x2 dada por T8 (x, y, z ) =

b
b + 3a
c − 7d
c

0 (x + y )/2
−y0

i ) T9 : R4 → P2 dada por T9 (a, b, c, d) = a + (−b + d)x − 5cx2 .
2

3

j ) T10 : P3 → M2x2 dada por T10 (a0 +a1 x+a2 x +a3 x ) =
k ) T11 : M2x2 → M2x2 dada por T11

ab
cd

=
2−a0

a3
4
a1 − a3

0
b+a
c−d
1
3

l ) T12 : P3 → M2x2 dada por T12 (a0 +a1 x+a2 x +a3 x ) =
2

a1 + a2

a1 a2
0

a3
4
a1

2

m ) T13 : R → R dada por T13 (x, y ) = (y, x)
n )T14 : R4 → R4 dada por
T14 (x, y, z, w) = (x − y, y + z, w, 2w − 6y + 7x − 5z )
2. Encuentre una transformaci´n lineal de R3 a R3 tal que su n´cleo sea
o
u
igual al conjunto gen{(2, 0, 4), (−4, 1,3)}.
1

3. Encuentre una transformaci´n lineal de R3 a R4 tal que su imagen sea
o
igual al conjunto gen{(2, 0, 0, 1), (0, −4, 1, 3)}.
4. Encuentre una transformaci´n lineal de R3 a R3 que tengacomo n´cleo
o
u
el conjunto {(x, y, z ) ∈ R3 /−3x+y +z = 0} y cuya imagen sea generada
por {(1, −1, 0)}.
5. Encuentre una transformaci´n lineal T : R3 → R3 tal que:
o
T (1, 0, 0) = (2, 3, 0)T (1, 6, −8) = (−1, 4, 5)
6. Encuentre una transformaci´n lineal T : M2x2 → M2x3 tal que:
o
a) T

10
00

=

100
000

b) T

10
10

=

0 00
−1 0 0

c) T

10
01

=

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