Quimica
1. Matrices.
1.1 Definici´n. Sea K un cuerpo y n, m ∈ N∗ . Una matriz n × m sobre K es una o aplicaci´n: o A : {1, . . . , n} × {1, . . . , m} −→ K.
Si (i, j) ∈ {1, . . . , n} × {1, . . . , m} denotaremos aij = A(i, j) y diremos que aij es el elemento (i, j) de A. Denotaremos por Mn×m (K) el conjunto de las matrices n × m sobre K.La forma de representar la matriz anterior es ordenando las im´genes por A en una a caja que consta de n filas y m columnas de la siguiente forma: a11 a21 A= . . . a12 a22 . . . an2 ... ... .. . a1m a2m . . . .
an1
. . . anm
As´ diremos que A tiene n filas y m columnas. ı, Para abreviar escribiremos A = (aij ) para referirnos a la matriz anterior.
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se les llama vectores fila de A y a los m vectores de K n (a11 , a21 , . . . , an1 ), (a12 , a22 , . . . , an2 ), . . . , (a1m , a2m , . . . , anm ) se les llama vectores columna de A. Una matriz real es una matriz con elementos en R y una matriz compleja es una matriz con elementos en C. 1.2 Definici´n. Dada la matriz o a11 a12 a21 a22 A= . . . . .. an1 a1m a2m . ∈ Mn×m (K) . . an1 an2 . ∈ Mm×n (K) . .
A los n vectores (a11 , a12 , . . . , a1m ), (a21 , a22 , . . . , a2m ), . . . , (an1 , an2 , . . . , anm ) ∈ K m
... ... .. .
an2
. . . anm
se define la matriz traspuesta de A a: a11 a21 . . . a12 a22 . . . AT = . . .. . . . . . a1m a2m . . . . µ ¶ −1 2 3 1.3 Ejemplo. Si A = ∈ 4 0 2 M3×2 (R). −1 Si B = 1 0 3 2 −1
anm
M2×3 (R) entonces AT −1
4 2 3 3 −5 ∈ M3×4 (R) entonces B T = 4 1 1 2
1 0 2 −1 ∈ M4×3 (R). 3 1 −5 1
−1 4 = 2 0 ∈ 3 2
1.4 Definici´n. Dada A ∈ Mn×m (K), diremos que A es cuadrada si n = m. Denoo taremos por Mn (K) al conjunto Mn×n (K). 1.5 Definici´n. Dada A = (aij ) ∈ Mn×m (K), a la r-tupla (a11 , a22 , . . . , arr ), donde o r = min{n,m}, se le llama diagonal principal de A. 1.6 Definici´n. Dada A = (aij ) ∈ Mn×m (K) se define la matriz opuesta de A a o −A = (bij ) ∈ Mn×m (K) donde bij = −aij 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m. 2
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1.7 Definici´n. Se define la matriz 0n×m = (cij ) ∈ Mn×m (K) donde cij = 0, o 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m. 1.8 Definici´n. Sea A = (aij ) ∈ Mn×m (K). o i)Diremos que A es una matriz fila si n = 1. ii) Diremos que A es una matriz columna si m = 1. 1.9 Definici´n. Sea A = (aij ) ∈ Mn (K). o i) Diremos que A es diagonal si aij = 0 si i 6= j. ii) Diremos que A es triangular superior si aij = 0 si i > j. iii) Diremos que A es triangular inferior si aij = 0 si i < j. iv) Diremos que A es sim´trica si AT = A. e v) Diremos que A es antisim´trica si AT = −A. eNotar que si una matriz cuadrada es antisim´trica entonces la diagonal principal es e el vector nulo. vii) Una matriz escalar es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son todos iguales. viii) Se define la matriz unidad de orden n y se denota In a la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son 1. 1.10 Definici´n. o Sea A = (aij ) ∈ Mn×m (K), i1 , i2 , . . . , ir ∈{1, 2, . . . , n} y
j1 , j2 , . . . , js ∈ {1, 2 . . . , m} con i1 < i2 < . . . < ir y j1 < j2 < . . . < js . Entonces la matriz que resulta de eliminar las filas distintas de i1 , i2 , . . . , ir y las columnas distintas de j1 , j2 , . . . , js o sea a
i1 j1
se dice que es una submatriz de orden r × s de A.
ai2 j1 . . . air j1
ai1 j2 ai2 j2 . . . air j2
... ... .. . ...ai1 js ai2 js . . . air js
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−1 3 4 5 1.11 Ejemplo. Sea A = 2 2 3 3 ∈ M3×4 (R). Las submatrices de 1 −1 1 −1 orden 2 × 2 de A son: µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ −1 3 −1 4 −1 5 3 4 3 5 4 5 , , , , , , 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ −1 3 −1 4 −1 5 3 4 3 5 4 5 , , , , , , 1 −1 1 1 1 −1 −1 1 −1 −1 1 −1 µ ¶...
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