Quimica
e
Departamento de Matem´ticas
a
ELEM.DE ALG. Y CALCULO ELEMENTAL - FMM 032
1er Semestre, 2013
PAUTA PRIMERA PRUEBA SOLEMNE
Viernes 12 de Abril de 2013
1. Si sesabe que proposici´n compuesta [(p ∨ r) ∧ (q ⇔ s)] ⇒ (q ∨ p), es falsa. Determine el valor de verdad de:
o
(p ⇒ q) ⇔ [r ∧ (p ⇒ (q ∧ s))]
Soluci´n:
o
Observe que p ∨ q ≡ F , entonces p ≡ F y q ≡ F. Luego si
[(p ∨ r) ∧ (q ⇔ s)] ≡ V =⇒ (p ∨ r) ≡ V
y
(q ⇔ s) ≡ V
por lo anterior, tenemos que r ≡ V y s ≡ F . Finalmente reemplazando en la proposici´n principal, tenemos
o
que:
(p ⇒ q) ⇔[r ∧ (p ⇒ (q ∧ s))]
(F ⇒ F ) ⇔ V ∧ F ⇒ F ∧ F
V ⇔ [F ∧ V ]
V ⇔ F
F
2. Sabiendo que A, B ⊆ U , demostrar que:
A ∪ [(A − B) ∩ B] ∪ [Ac ∪ B]c = A
Soluci´n:
o
Utilizando propiedades deconjuntos, tenemos que:
A ∪ [(A − B) ∩ B] ∪ [Ac ∪ B]c
= A
A ∪ [(A ∩ B c ) ∩ B] ∪ [A ∩ B c ]
= A
c
= A
c
A ∪ [A ∩ B ]
= A
A
= A
A ∪ [Ø ∪ [A ∩ B ]
3. En el binomio
x+1
x2
18
, determine:
a) El t´rmino central.
e
b) El t´rmino independiente de x, si es que existe.
e
Soluci´n:
o
a) Utilizando el teorema del binomio, tenemos que:
x+
1
x218
18
18
k
=
k=0
x18−k
18
k
1
x2
=
k=0
18
k
x18−3k
Luego,
Tcentral = T10 =
18
9
x−9
b) El t´rmino independiente se obtiene cuando existe un k ∈ N0 ,tal que x0 , es decir:
e
x0 =⇒ 18 − 3k = 0 =⇒ k = 6
si
por lo tanto, el t´rmino independiente se alcanza en el s´ptimo t´rmino.
e
e
e
T7 =
4.
18
6
18
6
x0 =
a) La suma de Nt´rminos de una progresi´n geom´trica de raz´n 3 es 728 y el ultimo t´rmino es 486. Calcule
e
o
e
o
´
e
el primer t´rmino de la progresi´n.
e
o
Soluci´n:
o
Tenemos los siguientes datos:r=3
;
S = 728
;
an = 486
Luego,
728 = a
3n − 1
=⇒ 1456 = a3n − a =⇒ a = a3n − 1456
3−1
486 = a3n−1 =⇒ 1458 = a3n
por consiguiente,
a = a3n − 1456 = 1458 − 1456 =⇒ a = 2...
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