quimica

Capítulo 5

Teoría cuántica de Schroedinger

Deficiencias de la teoría de Bohr.
•

La teoría de Bohr produjo una explicación plausible del átomo de H, pero no pudo
explicar …
o Las diferencias entre las intensidades de las líneas espectrales
o La multiplicidad de algunas líneas
o La formación de agregados microscópicos

•

Diferencias fundamentales entre la mecánica clásica y lamecánica cuántica

Mecánica Clásica
Es determinista
determinista

Mecánica Cuántica
Principio de incertidumbre
λ=?

.

Δx

r
r

m

r=r(t)

λ

Δ
x

Propiedades de la función de onda
El problema de la mecánica cuántica es determinar la función de onda Ψ para un sistema
físico cuando sus grados de libertad están limitados por la acción de fuerzas externas.
Propiedades
•
••

Ψ: no tiene interpretación física.
2
Ψ : es ∝ probabilidad de la posición.
Ψ compleja es una buena elección porque
Ψ = A + iB donde i = − 1

2

Ψ = Ψ * Ψ donde Ψ * = A − iB

Ψ * Ψ = ( A + iB )( A − iB ) = A 2 + B 2
∞

•

∫Ψ

−∞

Ψ

2

2

dx debe ser finita.
∝ densidad de probabilidad de encontrar el sistema descrito por Ψ.

Es conveniente normalizar Ψ de modoque
∞

∫Ψ

2

dx = 1

−∞

Ecuación de onda clásica

∂ 2 y ( x, t ) 1 ∂ 2 ( x, t )
= 2
∂x 2
ν
∂t 2
Es la ecuación para una onda viajera. Esta es una ecuación diferencial de segundo orden
cuya solución origina familia de funciones
y ( x, t ) = φ ( t ± x ν )

( ν ) representa ondas hacia +x
φ (t + x ) representa ondas hacia –x
ν
φ t−x

•
•

La perturbación puede ser decualquier forma y no solo sinusoidal.
Igualmente valida para un pulso o un tren de ondas o superposición de ondas.

Aplicación para una onda viajera

y ( x, t ) = Ae

x
− iω ( t − )
ν

Representa un tren de onda de amplitud constante y monocromática (y es una función
compleja)
e − iθ = cos θ − isenθ

De modo que podemos escribir

(

y ( x, t ) = A cos ω t − x

) − iAsenω (t − xν)

ν

Esta es la solución general para una onda viajera.
Ecuación de Schrödinger
En mecánica cuántica se adopta una función de onda que tiene propiedades similares.
De modo que asumimos una función del tipo

Ψ ( x, t ) = Ae
donde ω = 2πν y

 x
− iω  t − 
 ν

λ
=v
ν

Entonces podemos escribir

Ψ ( x, t ) = Ae


x
− 2πi νt − 
λ


También sabemos que

E =hν = 2πν
h 2π
λ= =
p
p

entonces,

Ψ ( x, t ) = Ae

i 
−  ( Et − px )


es la función de onda para una partícula libre con energía total E y momento p moviendose
en dirección +x.
A partir de esta solución vamos a derivar una ecuación que nos permita describir sistemas
más complejos, como electrones en un átomo.

•

Derivando Ψ(x,t) con respecto a x
i 

∂Ψ
 i −  ( Et − px )
= A( − p )  −  e   
∂x
 
2

i

∂2 Ψ
 i  −  ( Et − px )
= A( − p ) 2  −  e   
∂x 2
 
i 

−   ( Et − px )
∂ 2ψ
p2
Ψ = − 2 Ae   
∂x 2


∂2 Ψ
p2
=− 2 Ψ
∂x 2

•

(1)

Derivando Ψ(x,t) con respecto a t

∂Ψ( x, t )
iE
= − Ψ ( x, t )
∂t

escribiendo E =
luego

p2
+V
2m

( 2)

( 3)
p2
ΒΨ + VΨ
2m
 ∂Ψ
∂ΨEΨ = −
= i
i ∂t
∂t
2
∂ ΒΨ
p 2 Ψ = − 2
∂x 2
EΨ =

( 4)

sustituyendo en (4)



∂Ψ
 2 ∂ 2Ψ
=−
+ VΨ
∂t
2m ∂x 2

Esta es la ecuación de Schrödinger.
La ecuación de Schrödinger no puede derivarse de ningún principio… es un principio en sí
misma.

Ejercicios
1. Verificar que la ecuación de Schrödinger es lineal.
Si Ψ1 y Ψ2 son soluciones de la ecuación de Schrödinger,entonces Ψ(x,t) = C1 Ψ1 +
C2 Ψ2 también es solución.
2. Verificar que la función de una onda viejera satisface la ecuación de Schrödinger
(V=cte; ω=cte; V=0) para una partícula libre.
3. Verificar la validez de la ecuación de Schrödinger para un oscilador armónico.
( F = − Kx ) si

Ψ ( x, t ) = Ae

(

− km

2

)x

2

e

( 2)

− i

k t
m

Interpretación (de Born) de las...